Fünf Arten, Kegelschnitte zu erzeugen

Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Möbius-Werkzeuge circle-tools (Mai 2019)

Die Konstruktionen oben sind kreis-geometrischer, also möbius-geometrischer Natur: bei geeigneter Übersetzung der Konstruktions-Schritte sind die Konstruktionen invariant unter Möbiustransformationen, das sind die gebrochen-rationalen Transformationen der GAUSSschen Zahlenebene. Diese Transformationen sind konform, also kreis- und winkeltreu. Speziell gehören die Kreis-Spiegelungen, also die Inversionen an Kreisen dazu. Die Konstruktionen sind daher beispielsweise durchführbar für PASCALsche Schnecken, oder Strophoiden. Für Strophoiden zeigen wir die Konstruktion in der Aktivität Seltsame Strophoiden-Konstruktion. Die Konstruktionen verwenden Schnittpunkte von Kreisen, orthogonale oder sich berührende Kreise. Geraden sind spezielle Kreise, nämlich Kreise durch ; dies wird deutlich durch die stereographische Projektion der GAUSSschen Zahlen-Ebene auf die RIEMANNsche Zahlenkugel. Die Konstruktionen oben beruhen mitunter auf den Eigenschaften der Mittelsenkrechten: die Spiegelung an dieser vertauscht zwei Punkte. Die Gärtner-Konstruktion von Ellipsen erklärt sich mit Hilfe der Mittelsenkrechten. Möbius-geometrisch entspricht der euklidischen Mittelsenkrechten der Mittel-Lotkreis:
  • Zu 2 Punkten A, B und einem weiteren Punkt P gibt es genau einen Kreis k durch P, an welchem gespiegelt die beiden Punkte A und B vertauscht werden.
Natürlich bleiben Abstände bei Kreis-Spiegelungen nicht invariant! Der Punkt P übernimmt für Mittel-Lotkreise die Rolle von . Für die "seltsamen Punkte" oben fehlt uns eine geometrische Deutung. Für Ellipsen gibt es ähnliche Punkte, welche aber schwieriger zu konstruieren sind.