Courbe de Hilbert

En 1891, Hilbert définit une fonction du segment (de dimension 1) dans le carré (de dimension 2) comme limite d'une suite de fonctions continues. Il montre que cette limite existe, est continue et est surjective! Son image est non seulement dense, c'est-à-dire que tout point du carré est à une distance nulle de l'image, mais aussi compacte comme image d'un compact par une application continue. C'est donc le carré tout entier, tout point est finalement atteint! C'est très étonnant, la notion de dimension doit donc être redéfinie! Une application continue peut envoyer surjectivement un ensemble dans un espace de dimension plus grande.
Vous pouvez modifier (lentement) le niveau de discrétisation de 1 à 7, et observer un point qui évolue le long de l'image du segment.