3.2 Un Sistema de 2x2
- Autor:
- Alfonso Meléndez
El problema central del álgebra lineal es la solución de ecuaciones y es más sencillo cuando el numero de incógnitas es igual al número de ecuaciones empecemos con n = 2:
las incógnitas son x y y. Para resolver estas ecuaciones podemos usar el método de eliminación o el de determinantes 1. Eliminación :De la segunda ecuación, reste 4 veces la primera ecuación. Así se elimina x de la segunda ecuación, y queda una ecuación para y:
De inmediato se sabe que , Luego se averigua a partir de la primera ecuación, Con sustitución hacia atrás:
Procediendo cuidadosamente, se comprueba que e , cumplen también la segunda ecuación, esto debe funcionar, como es el caso: 4 veces ( ) mas cinco veces (,) es igual a 6. 2. Determinantes : La solución , depende completamente de los seis números en las ecuaciones. Debe existir una fórmula para , (y también para ,). Se trata de una razón de determinantes, que espero, el lector me permita escribir directamente:
Lo anterior puede parecer algo misterioso, a menos que el lector ya conozca algo sobre el cálculo de determinantes de 2 por 2. Estos determinantes proporcionan la misma respuesta y = 2, proveniente de la misma razón de -6 a -3. Si nos quedamos con los determinantes (lo cual no pensamos hacer), hay una fórmula semejante para calcular la otra incógnita, ,:
A continuación se compararán ambos métodos, pensando en futuros problemas reales en los que n es mucho más grande (n = 1000 es un tamaño bastante moderado en cálculos científicos). Lo cierto es que el uso directo de la fórmula de los determinantes para 1000 ecuaciones puede ser un desastre total, ya que el millón de números a la izquierda se utilizaría correcta pero ineficazmente. Esta fórmula se encontrará en el capítulo 4 (regla de Cramer), aunque en el capítulo 1 se presenta un método aceptable para resolver 1000 ecuaciones. Este método aceptable es la eliminación gaussiana. Se trata del algoritmo que suele aplicarse de manera constante para resolver grandes sistemas de ecuaciones. A partir de los ejemplos en un libro de texto (n = 3 se aproxima al limite superior de la paciencia del autor y del lector), quizá el lector no puede apreciar mucha diferencia. En las ecuaciones (2) y ( 4) se siguieron esencialmente los mismos pasos para encontrar y = 2. Ciertamente x se conoció más rápido por la sustitución hacia atrás en la ecuación (3) que por la razón en (5). Para sistemas con más incógnitas y ecuaciones no hay caso, Gana la eliminación (a propósito el mejor método para calcular determinantes ¡¡¡es eliminación!!!). La idea de eliminación es engañosamente simple, el lector la dominará luego de unos cuantos ejemplos. Constituye la base de la mitad de este libro, su objetivo es simplificar (maximizar el número de ceros) de una matriz de modo que sea posible resolver un sistema de ecuaciones, pero esta matriz nos ayudará a entender también las nociones de espacio vectorial, dimensión, independencia etc... Junto con la mecánica del algoritmo, en este capítulo es necesario explicar cuatro aspectos más profundos.
1. Las ecuaciones lineales llevan a la geometría de planos. No es fácil visualizar un plano nueve-dimensional en un espacio de diez dimensiones. Es más difícil ver diez de estos planos, que se cortan en la solución de diez ecuaciones, aunque de alguna manera esto es casi posible. Nuestro ejemplo tiene dos rectas en la figura , que se encuentran en el punto (x, y) = (-1, 2). El álgebra lineal mueve esta imagen hacia diez dimensiones, donde la intuición debe imaginar la geometría. 2. Pasamos a la notación matricial al escribir las n incógnitas como un vector y las n ecuaciones como . Transformamos A con la finalidad de obtener una matriz con ceros bajo la diagonal U. Con lo anterior, resolver el sistema de ecuaciones es inmediato. 3. En la mayor parte de los casos, la eliminación se realiza sin dificultades. La matriz tiene una inversa, y el sistema tiene una solución. En otros casos el método falla, en este caso las ecuaciones no tienen una solución única. El caso singular aparece si 8 se sustituye por 5 en nuestro ejemplo: La eliminación resta simplemente 4 veces la primera ecuación de la segunda. Sin embargo, ¡observe el resultado!: (ecuación 2) - 4(ecuación 1) 0=-6. Este caso singular no tiene solución. Otros casos singulares tienen una cantidad infinita de soluciones. (Cambie 6 por 12 en el ejemplo anterior y la eliminación producirá O = O) . Entonces la variable y puede asumir cualquier valor.) Cuando la eliminación falla, se quiere encontrar toda solución posible. 4. Se requiere una estimación aproximada del número de pasos de eliminación necesarios para resolver un sistema de tamaño n. El costo de cómputo a menudo determina la precisión del modelo. Cien ecuaciones requieren alrededor de 300 000 pasos (multiplicaciones y restas). La computadora es capaz de hacer estos pasos rápidamente, pero no es así para el caso de varios billones de pasos. Y después de un millón de pasos, el error por redondeo puede ser significativo. (Algunos problemas son sensibles; otros no.) Sin entrar en todos los detalles, pretendemos considerar grandes sistemas que se presentan en la práctica, así como la manera en que se resuelven realmente. El resultado final de este capítulo, es un algoritmo de eliminación que es lo más eficaz posible. Se trata del algoritmo que suele usarse en una numerosa variedad de aplicaciones. Y al mismo tiempo, comprenderlo en términos de la matriz de coeficientes A es un fundamento esencial de la teoría. Pasamos entonces a explicar de manera general el método de eliminación.