７．ベクトルと空間
このページは電子ブック「探求 数学B・C」の一部です。
★ベクトルを利用して方程式を作ろう
★法線ベクトルを利用して面対称をさぐろう。
１．平面と直線
＜直線の式＞
直線のベクトル方程式は２次元のときと全く同じで
ベクトルの足し算が途中の点を省いた最短矢印であることから、
・２点A を通り方向[direction]ベクトルと平行な直線上の点Pは
とかける。
・２点A,Bを通る直線の方向ベクトルは だから、
２点ABを通る直線は となる。s=1-tとおくと 。
＜ベクトルの和＞
方向が３つ独立に取れるために、３つのベクトルの和は２つの和で求めた対角線と３つ目のベクトルとの和になり、３つのベクトルの張る平行６面体の対角線ベクトルになります。
＜ベクトルの成分＞
ベクトルの成分計算は、和・差・定数倍については２次元と同様になります。
内積の成分計算は、同方向成分の積の和なので、３つめの次元（成分）の積和が増えるだけです。
（例）
「2つのベクトルの作る角度を求めよう。a=(1,-1,2),b=(-1,-2,1)」
|a|=√6,|b|=√6, a・b=-1+2+2=3。cosθ＝1/2だから、θ=60度。
＜平面の方程式＞
・定点Aを通り２点B,Cを通る直線と垂直な平面上の点Pがある。
ベクトルAPとベクトルBCが垂直、つまり、内積＝０という式と同値。=0。
・定点Aを通り、２つの方向ベクトルAQとARが張る平面上の点Pがある。
２つの方向ベクトルで平面の傾きが決まり、平面の位置が決まる。
（例）
「四面体OABCのPがOAの中点、QがOBを２：１に内分する点、RがBCの中点。
３点PQRを通る面と辺ACの交点をSとするとき、AS:SC」は？
Oを基準に小文字の頂点名を位置ベクトルとする。
p=1/2a, q=2/3b, r=1/2b+1/2c, s=ma+nc(m+n=1)となる。
ベクトルPQ=q-p=2/3b-1/2a,ベクトルPR=r-p=1/2b+1/2c-1/2a。
この２つのベクトルが張る傾きで定点Pを通ると３点PQRを通る平面となりsも通る。
s=OP+uPQ+vPR
=1/2a+u(2/3b-1/2a)+v(1/2b+1/2c-1/2a)=1/2(1-u-v)a+(2/3u+1/2v) b+1/2v c=ma+nc(m+n=1)
a,b,cは一次独立だから係数比較して、4u=-3v, 1-u-v+v=2から、u=-1,v=4/3となる。
m=1/2(1+1-4/3)=1/3, n=2/3から、ACを２：１に内分する。
（例）
「３点の座標をA(3,0,0),B(2,1,2),C(1,-2,2)とするとき原点から三角形ABCに下ろした足Hの座標と
OHの長さ」は?
ベクトルAB＝(-1,1,2)、AC=(-2,-2,2)となるから、平面ABCへの法線ベクトルをn=(x,y,z)とおくと、
法線とAB、ACは垂直だから、-x+y+2z=0, -2x-2y+2z=0。これから、x:y:z=-3:1:-2となる。
だから、ベクトルOH=(-3p, 1p, -2p)とおける。
点Hは平面ABC上にあるので、ベクトルOH＝OA＋uAB+vAC=(3-u-2v, u-2v, 2u+2v)
これを解くと、u=3/14、v=3/7, p=-9/14となるから、H(27/14, -9/14, 9/7)
OH2=(9+1+4)p2=14p2=14(-9/14)2=81/14より、OH=9/√14。
（例）
「点A(1,2,4)を通り、法線ベクトルn＝(-3,1,2）の平面に関して、点Q（-2,1,7）と対称な点R
の座標」は？
平面上の点をP(x,y,z)とするとnとベクトルAPの内積=0となるから、
-3(x-1)+1(y-2)+2(z-4)=0から、-3x+y+2z=7。
ベクトルOR=OQ+ｎの定数倍=(-2,1,7)+t(-3,1,2)=(-2-3t, 1+t,7+2t)。
２点QとRの中点M＝(OQ+OR)/2=(-2-3/2t,1+1/2t,7+t)。Mは対称面上にあるので、
-3(-2-3/2t)+(1+ 1/2t)+2(7+t)=7。これから、t=-2。R＝(-2-3(-2), 1-2, 7+2(-2))=(4,-1,3)
＜球の方程式＞
・円の方程式は定点Cからの距離ｒが一定な点Pの集合。
|p-c|=rまたは、 (p-c)・(p-c)=r2
（例）
「原点を中心とする半径３の球と直線x=3k,y=-k,z=2kとの交点Pの座標」は?
球の方程式にx2+y2+z2=９に直線の方程式を代入すると、(9+1+4)k2=9、k=±3/√14。
1+1+4=6, 4+4+4=12, (2-2+4)2=16だから、面積は1/2√(6･12-16)=√14。
（例）
「２点A(2t,2t,0),B(0,0,t)に対して点P(x,y,z)が内積の和がOP・AP+OP・BP+AP・BP=3となる。Pの座標」を
tを使って表すと？
(x,y,z)・(x-2t+x-0,y-2t+y-0,z-0+z-t)+(x-2t,y-2t,z-0)・(x-0,y-0,z-t)=3
式を整理して、(x-2/3t)2+(y-2/3t)2+(z-1/3t)2=1+t2
中心C(2/3t, 2/3t, 1/3t)で、半径√(1+t2)、OC=t,CP=半径。OP=t+√(1+t2)
＜三角形の面積＞
三角形のOABの面積は1/2|a||b|sinθ=
（例）
「３点の座標をA(3,0,0),B(2,1,2),C(1,-2,2)とするとき三角形ABCの面積」は?
ベクトルAB＝(-1,1,2)、AC=(-2,-2,2)となるから、それぞれの絶対値の２乗と内積の２乗は、
1+1+4=6, 4+4+4=12, (2-2+4)2=16だから、面積は1/2√(6･12-16)=√14。
２．多次元ベクトル
＜コサイン類似度＞
(おいしさ,甘さ,辛さ)の３次元で、食品１から７のデータを平均して整数化したとします。
食品１=(5,2,3),食品２=(4,5,2), 食品３=(1,2,5),
食品４=(5,4,3),食品５=(3,5,2), 食品６=(2,5,3), 食品７=(3,1,1)
基準となる食品１から３に対して、食品４から７までの類似度を計算します。
計算方法はcosθ＝a・ｂ/|a||b|という、コサインθの値が-１から１をとることを利用します。
−１は正反対の、1は同じ、０は無関係という類似度判定をします。
これがコサイン類似度。
食品４,食品５,食品６,食品７に対して、
食品１は、0.96、0.87、0.76、0.97
食品２は、0.96、0.99、0.94、0.85
食品３は、0.72、0.71、0.79、0.55
食品２と食品５（0.99）が似ていて，食品3と食品7（0.55）が似ていない。
食品だけなく、単語の意味、画像データなど、多次元に分解して、
コサイン類似度を求めて比較することは、機械学習や人工知能ではよく使われています。
＜相関係数＞
相関係数は共分散：データと平均の差を偏差という。
2項X,Yについてのｘ偏差とｙ偏差の積の平均をｘｙの共分散（covariance)という。
相関係数(correlation coefficeant)：２量の共分散Sxyを２量の変量の標準偏差の積SxSyで割った商。
r=
＜相関係数の性質＞
「相関係数の絶対値は1以下である。」
ｎ人のXとYの偏差データを、ｎ要素をもつベクトルa、ベクトルbとすると、
相関係数 r = aとbの内積/(aの大きさ・bの大きさ)
==cosθ
と、上記のコサイン類似度と同じことになる。
r=cosθは-1以上１以下。
r=０のとき、θ＝90°(無相関）。
r=1のとき、 θ＝0（最大の正の相関）２つのベクトルは同じ向きに重なる。
r=-1のとき、θ=180°（最大の負の相関）２つのベクトルは逆向きに1直線になる。