Isometrías
- Autor:
- Rafael Losada Liste
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Cambio de sistema de referencia.
Las isometrías son transformaciones afines que conservan las longitudes. Es decir, dados dos puntos P y Q sometidos a la misma isometría, la distancia de P' a Q' es la misma que la de P a Q.
Por lo tanto, las isometrías mantienen la forma (los ángulos) y el tamaño de las figuras planas sometidas ellas. Lo único que puede variar es la posición o la orientación.
Esta característica de las isometrías se traduce en una importante propiedad en las matrices de cambio de base. Resulta que:
M=(a | b | c) es la matriz de cambio de base de una isometríaM es una matriz ortogonal.
Esto equivale a que los vectores a, b y c son ortogonales y unitarios (es decir, ortonormales). Además, el determinante de M ha de valer 1 o -1. En el primer caso determinará un movimiento que conserva la orientación: el giro. En el segundo, determinará un movimiento que invierte la orientación: la reflexión. Ambos tipos de movimientos, reunidos, forman el llamado grupo ortonormal, simbolizado como O(3) (el número 3 corresponde a la dimensión del espacio). En la construcción, puedes elegir las posiciones de a, b y c (esta última viene determinada por a y b, salvo en el sentido del vector). Observa que en todos ellos la imagen del cubo unidad sigue siendo un cubo unidad (no varía la forma ni el tamaño).Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.