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[問題] 橢圓與雙曲線有共同焦點

已知:橢圓 與雙曲線 有共同焦點 試求:cos ∠FPF' = ?
解答:
  • 由橢圓方程式知道:橢圓的 a = √6,b = √2,所以 c = 2
  • 由於共用焦點,所以雙曲線的 c = 2
  • 由雙曲線方程式知道:雙曲線的 b = 1,所以雙曲線的 a = √3
假設:p = PF 長、q = PF' 長
  • 因為 P 在橢圓上,所以:p + q = 2√6
  • 因為 P 在雙曲線上,所以:p - q = 2√3
兩式平方:
  • p² + 2pq + q² = 24
  • p² - 2pq + q² = 12
兩式相加減,可得:
  • p² + q² = 18
  • 2pq = 6
最後,利用「餘弦定理」: