Funzioni esponenziali - le basi

Definizione ed equazione

Una funzione esponenziale è una funzione nella forma

in cui il termine si chiama base, con e , ed si chiama esponente, e può assumere qualsiasi valore reale.

Perchè ci sono delle restrizioni sulla base b?

La base deve essere:
  • positiva: affinché il dominio della funzione sia . Infatti, se ad esempio avessimo , allora , ma questa operazione non è possibile nell'insieme dei numeri reali.
  • non 0 e non 1: per questi valori di , la funzione esponenziale degenera in una retta orizzontale, rispettivamente e .

Esploriamo il grafico di una funzione esponenziale

L'applet che segue ti consente di interagire con il grafico di una funzione esponenziale.
  1. Utilizza lo slider che definisce il valore della base per confrontare la forma del grafico quando o .
  2. Seleziona Tabella per aprire la tabella di valori relativa alla funzione visualizzata: tre di questi valori sono predefiniti, ed in particolare (il valore inverso della base), (l'intersezione con l'asse y) ed (il valore della base). Questi sono i tre punti fondamentali che dovresti sempre utilizzare per tracciare il grafico di una funzione esponenziale. Trascina il punto sull'asse x per scegliere un altro punto in cui valutare il valore assunto dalla funzione. (Tutti i valori in tabella sono approssimati a 2 cifre decimali).
  3. Seleziona Monotonia per visualizzare ed esplorare le definizioni di funzione crescente o decrescente applicate al grafico corrente, trascinando i punti sull'asse x.
  4. Seleziona Mostra per visualizzare il grafico della funzione esponenziale con base , che è una costante matematica: un numero decimale illimitato che ha una notevole importanza in molte applicazioni della matematica.

Caratteristiche principali delle funzioni esponenziali

Data una funzione esponenziale , con e :
  • il dominio della funzione è
  • l'insieme immagine della funzione è
  • l'intersezione del grafico con l'asse y è sempre 1
  • la funzione ha asintoto orizzontale
  • la funzione è crescente se , e decrescente se