９．２次方程式と２次関数
★文字は０の隠れ家だ！
１.方程式の解とグラフ
このページは電子ブック「探求 数学Ⅰ」の一部です。
＜一般形と方程式の解＞
２次関数（y=f(x)）とｘ軸（y=０）の一致。
yが一致するのは２次関数のグラフとｘ軸が交わるとき。
だから、２次関数のグラフとｘ軸の交点のｘ座標は２次方程式f(x)=0の解となる。
一般形f(x)=ax2+bx+c=0の解はa,b,cが＝０かどうかで場合わけが必要。
・a=0でb=0なら、c=0であれば、y=f(x)=0は、
ｘ軸そのものになるからｘは任意の実数。
・a=0でb=0でも、c=0でないときは、
y=cはｘ軸との交点はないので、解なし。
・a=0だがb=0でないなら、f(x)は一次式bx+cとなる。
=0となる解はｘ＝-c/b。
・a=0でないなら、f(x)は2次方程式になるので、
・解の公式のルートの中の部分、
判別式D＝b2-4acが正、０、負の３通りで、
解の個数は順に２，１，０個と判別できる。
（例）のグラフとｘ軸との交点のｘ座標は
の解でx＝2,3。
（例）のグラフとｘ軸は交わらないので、
の解はなし。
（例）のグラフとｘ軸は(3,0）で接する。
の解はx=3（重複解）
（例）３次以上でも、のグラフと
ｘ軸との交点のｘ座標は方程式の解からx＝1,2,3。
＜２方程式の解の個数＞
y＝f(x)のグラフをかくには、f(x)=0の左辺を平方完成して頂点を求めたり、
因数分解したり、解の判別式を使う。そうすれば、
ｘ軸との交わる点の個数や座標がわかる。
（例）平方完成
から頂点。２実数解。
（例）因数分解からｘ軸と２点(1,0),(2,0)で交わる。
（例）解の判別式から２実数解。
（例）「２次方程式x2-4x+k＝０の解の個数」は？
から頂点の座標は(2,k-4)で下に凸。
k-4<0なら交点が２つあり２実数解。k-4=0でｘ軸に接するから重解。
k-4>0ならｘ軸から離れているので解なし。
判別式D=からも
4-kと0との大小比較で解の個数（交点数）が出せるね。
★実数解のあるグラフ
★ｘ^2-4x+k=0の実数解の個数
2.２次不等式の解とグラフ
＜ｘ軸と２点で交わるグラフ＞
y=f(x)=(x-a)(x-b)で、bがaより大とする。
f=0はfがx軸と交わるとき。ｘ＝a,b。f<0はfがx軸より下。xはaとbの間の実数。
f>0はfがx軸より上。xはaより小かbより大。
（例）とするとき、f(-1)<0となるaの範囲は？
から、
。解は、a<-1,5＜a
（例）が
に対して、実数解xがあるｋの範囲は？
解xの判別式D＝
これをtの２次関数としてみると、t＝-1/2が軸になり、
tの変域でD(-1/2)=k2+2K-24が最小値になる。
この値が０以上なら、Dはtの変域でつねに０以上となり、
実数解ｘがある。。
今度はこれをkの２次不等式とみて解けばよい。。
＜ｘ軸と接するグラフ＞
y=f(x)=(x-a)2とする。
f=0はfがx軸と交わるとき。ｘ＝a。f<0はfがx軸より下。
xはaとaの間で、解なし。
f>0はfがx軸より上。xはaより小かaより大。つまり、
ｘはa以外のすべての実数。
＜ｘ軸からはなれている＞
b>0でf(x)=(x-a)2+bとする。bは正とする。
f=0はfがx軸と交わるときで、解なし。
f<0はfがx軸より下で、解なし。
f>0はfがx軸より上で、ｘはすべての実数。