Logistisches Wachstum - Differentialgleichung

Thema:
Analysis
Ein logistisches Wachstum liegt vor, wenn der momentane Zuwachs proportional zum momentanen Bestand und zum vorhandenen Freiraum angenommen wird. Die Differentialgleichung zur Beschreibung dieses Wachstumsmodells lautet (P Population, λ Parameter, K Kapazitätsgrenze)

und hat die Lösung (Herleitung siehe unten).

Herleitung der Lösung

Aus

folgt

Eine Partialbruchzerlegung und anschließende Integration führt zu

Das Integral ergibt für

Durch Ausmultiplizieren kann nach P aufgelöst werden:

Aus der Anfangswertbedingung P(0) = P0 kann die Konstante c berechnet werden.

Damit ergibt sich für die Lösung