ES 37.22

Given points A,B,C,O with O,A,B not collinear, construct the intersection points of the line AB with the circle with center O and passing by C (assuming that they meet) (par = 4 steps, done in 3).

PROCEDURA. Sia c la circonferenza di partenza, di centro O, e A, B i punti che definiscono la retta. -Traccio la circonferenza di centro A e raggio AO, a. {1 STEP} -Traccio la circonferenza di centro B e raggio BO, b. {1 STEP} -Sia D l'altro punto di intersezione delle circonferenze a, b. -Traccio la circonferenza di centro D e raggio CO, d. {1 STEP} -I punti di intersezione delle circonferenze c e d mi restituiscono i punti di intersezione della retta per A, B con c, ovvero: E, F. TOT: 3 STEP DIMOSTRAZIONE. In riferimento a quanto scritto sopra e alla figura in basso, abbiamo che le circonferenze a e b si intersecano in due punti: O (per costruzione) e D (infatti per ipotesi A, O, B non sono allineati e quindi le due circonferenze non possono essere tangenti). Siano F, E i punti di intersezione della retta AB con la circonferenza c, voglio mostrare che questi punti appartengono anche a d. Considero i triangoli AOB, ADB: sono congruenti per LLL, infatti: AO=AD perchè raggi della circonferenza a, AB=BD perchè raggi della circonferenza b e AB è in comune. In particolare gli angoli OAB=BAD. Traccio il segmento OD: questo interseca necessariamente AB per il Crossbar su AOB. Sia G il punto di intersezione. Considero i triangoli OAF e DAF, sono congruenti per LAL infatti OA=AD, AF in comune e gli angoli in A sono congruenti per quanto detto sopra. In particolare, DF=OF. Ma allora DF=OF=OC. Analogamente si può trovare che OC=OE=ED. Per la transitività della relazione di congruenza segue che FD=ED.Quindi la circonferenza di centro D e raggio OC interseca la retta AB in F e E.
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