Caída libre con marcas y final
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra El dominio del Tiempo.
Esta animación simula el movimiento en caída libre 
en tiempo real, despreciando la resistencia del aire. La animación no hace uso de fórmulas (ni ecuaciones ni cálculo diferencial), solo realiza las variaciones necesarias en los vectores que dirigen el movimiento.
Esta animación sigue los mismos pasos de la anterior de caída libre, pero ahora añadimos marcas cada segundo de caída (ver los detalles más abajo).
Como puedes observar, el resultado se ajusta bastante bien a la realidad. Las marcas verdes representan la altura alcanzada por el punto azul en cada segundo, según la animación. Las marcas naranjas indican la altura teórica a la que debería estar ese punto al cabo de cada segundo.
Observa también que, si no hay rozamiento, en cada segundo que pasa, la masa siempre recorre la misma altura, independientemente de la altura inicial (4.905 es la mitad del valor constante de |g|, 9.81 m/s2) :
Al cabo de 1 segundo, ha caído 4.905 m por 12 (es decir, 4.905 m).
Al cabo de 2 segundos, ha caído 4.905 m por 22 (es decir, 19.62 m).
Al cabo de 3 segundos, ha caído 4.905 m por 32 (es decir, 44.145 m).
Al cabo de 4 segundos, ha caído 4.905 m por 42 (es decir, 78.48 m).
...
en tiempo real, despreciando la resistencia del aire. La animación no hace uso de fórmulas (ni ecuaciones ni cálculo diferencial), solo realiza las variaciones necesarias en los vectores que dirigen el movimiento.
Esta animación sigue los mismos pasos de la anterior de caída libre, pero ahora añadimos marcas cada segundo de caída (ver los detalles más abajo).
Como puedes observar, el resultado se ajusta bastante bien a la realidad. Las marcas verdes representan la altura alcanzada por el punto azul en cada segundo, según la animación. Las marcas naranjas indican la altura teórica a la que debería estar ese punto al cabo de cada segundo.
Observa también que, si no hay rozamiento, en cada segundo que pasa, la masa siempre recorre la misma altura, independientemente de la altura inicial (4.905 es la mitad del valor constante de |g|, 9.81 m/s2) :
Al cabo de 1 segundo, ha caído 4.905 m por 12 (es decir, 4.905 m).
Al cabo de 2 segundos, ha caído 4.905 m por 22 (es decir, 19.62 m).
Al cabo de 3 segundos, ha caído 4.905 m por 32 (es decir, 44.145 m).
Al cabo de 4 segundos, ha caído 4.905 m por 42 (es decir, 78.48 m).
...
- Nota: hay un modo intuitivo (sin recurrir al cálculo diferencial) de comprender esto. Por definición de aceleración, sabemos que al cabo de t segundos, la velocidad v es g t. Pero esta es la velocidad final, mientras que la inicial era 0. Como la aceleración es constante, es decir, igual en cualquier instante, es razonable pensar que la masa tardará lo mismo que si llevase la velocidad media de ambas: (0 + g t)/2 = g/2 t (este resultado general se conoce como teorema de la velocidad media ). Por lo tanto, el espacio recorrido será el módulo de esta velocidad por el tiempo transcurrido: |g|/2 t2 = 4.905 t2.
En una caída libre de altura h, sabemos que v = g t y sabemos que h = |g|/2 t2, despejando t en la segunda ecuación y sustituyendo en la primera, obtenemos que el módulo de esa velocidad es siempre
Después de realizar el registro del tiempo y la ejecución del movimiento como aparece en la actividad anterior, para registrar las marcas, añadimos la variable:
ultimo = 0
y las listas:
reg = {0}
marca = {}
Ahora basta añadir al deslizador anima el guion:
Valor(ultimo, reg(1))
Valor(reg, Si(floor(t)>ultimo, Añade(floor(t), reg), reg))
Valor(marca, Si(floor(t)>ultimo, Añade(y(M), marca), marca))
Las secuencia de marcas teóricas (en naranja) es:
marcasT = Secuencia(Segmento((x(P), y(P) - 4.905k²), (0, y(P) - 4.905k²)), k, 1, Longitud(marca))
La de marcas de la animación (en verde) es:
marcas = Secuencia(Segmento((x(P), marca(k)), (x(P) + x(Esquina(2) - Esquina(1)) / 20, marca(k))), k, 1, Longitud(marca))
Y la de los segundos es:
marcasN = Secuencia(Texto("" reg(k) + "''", (x(P) + x(Esquina(2) - Esquina(1)) / 18, marca(k))), k, 1, Longitud(marca))
GUION DEL DESLIZADOR anima
# Calcula los segundos dt transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1) < tt
Valor(tt, t1(1))
Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3))
Valor(dt, (t1(1) < tt) + (t1(1) − tt)/1000)
# Registra el paso por un número entero de segundos y la altura correspondiente
Valor(ultimo, reg(1))
Valor(reg, Si(floor(t) > ultimo, Añade(floor(t), reg), reg))
Valor(marca, Si(floor(t) > ultimo, Añade(y(M), marca), marca))
# Mueve M y controla el final
Valor(v, v + dt g)
Valor(M, M + dt v)
IniciaAnimación(anima, y(M)>0)
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.