KöMaL - B. 5155. feladata

https://www.komal.hu/feladat?a=feladat&f=B5155&l=hu

https://www.komal.hu/feladat?a=feladat&f=B5155&l=hu

Keressünk sejtést!

A fenti GeoGebra fájlban az Y pont mozgatható. A bal alsó sarokban látható, kis körben levő háromszögre kattintva egy animáció indítható el. Észrevehetjük, hogy ha D=Y, akkor az MXY háromszög köré írt köre egybeesik az MAD háromszög köré írt körrel, ha pedig C=Y, akkor az MBC háromszög köré írt körrel. Ez utóbbi két kör a "Katt" feliratú jelölőnégyzetre kattintva megjeleníthető. Ez alapján megfogalmazható az a sejtés, hogy az MXY háromszög köré írt köre mindig illeszkedik az MAD és MCD háromszögek köré írt köreinek második metszéspontjára, amit P-vel jelölünk.

Egy lehetséges út egy lehetséges bizonyításhoz:

Dr. Szilassi Lajos tanár úr készített egy anyagot: "A forgatva nyújtás és alkalmazásai". Ez önmagában is tanulságos olvasmány, de a mi szempontunkból is érdekes lehet. Keressük a választ ebben az írásban a következő kérdésre! Milyen fontos tulajdonsága van a P pontnak? A P azon forgatva nyújtás centruma, ami A-nak D-t és B-nek C-t felelteti meg. A fenti anyagban ismerkedjünk meg a forgatva nyújtás legfontosabb tulajdonságaival! Mi a válasz a következő kérdésre: Az X és Y pontok milyen kapcsolatban állnak? Abból, hogy a forgatva nyújtás aránytartó transzformáció, következik, hogy a fent említett, P centrumú forgatva nyújtás az X pontnak Y-t felelteti meg. Mit jelent ez az MXY háromszögek köré írt köreire vonatkozóan? Azt jelenti, hogy bármely MXY háromszög köré írt körére illeszkedik P. Az állítást bebizonyítottuk.