Penrose tegels
vlieger en pijl
Je leest wel eens dat de twee Penrose tegels, vlieger en pijl, gebaseerd zijn op de gulden snede.
Dat is een klassieke reflex bij alle figuren waarin lijnstukken zich verhouden als 1 en .
De vlieger en pijl zijn simpelweg het resultaat van een constructie binnen een regelmatige vijfhoek.
Je gebruikt hierbij een rechthoekige driehoek met een scherpe hoek van 36°.
Vermits is het niet verwonderlijk dat in deze constructie of opduiken in de afmetingen van lijnstukken.
plakregels
Je kan vlieger en pijl gewoon aan elkaar schuiven tot een ruit, maar dan krijg je uiteraard geen niet-periodische vlakvulling. Daarom voerde Penrose een plakregel in. Hij construeert boogjes in twee kleuren met als regel dat bij het aan elkaar plakken van twee tegels de boogjes in dezelfde kleur moeten doorlopen. En hierbij maakt hij wel gebruik van de gulden snede.
constructie van de boogjes
Voor de constructie van deze gekleurde boogjes gaan we even terug naar de constructie van de tegels.
In een regelmatige vijfhoek met zijde kan je de vlieger en de pijl construeren als vierhoeken met als lange zijde 1 en als korte zijde .
De verhouding kan je ook herschrijven als . De lange en korte zijde verhouden zich dus als en .
In vliegers en pijlen met een lange zijde en een korte zijde kan je de rekenkundige eigenschappen van deze getallen gebruiken om de zijden op te delen volgens de gulden snede.
- zodat je de lange zijde kunt opdelen in en .
- Deel je bovenstaande vergelijking door dan krijg je . Omdat kan je de vergelijking herschrijven als en dus als . Je kan m.a.w. de korte zijde 1 opdelen in en .
- Eén: zorg er voor dat in beide tegels de twee boogjes elkaar raken. Dat kan alleen als volgt: In de vlieger leg je het langste deel van de zijden zo dat je voor beide boogjes als straal het langste deel gebruikt. In de pijl leg je de langste delen zo dat je voor de boogjes het kortste deel gebruikt.
- Twee: Kleur in de vlieger het boogje van het grootste deel groen, dat van het kleinste rood en doe net het omgekeerde in de pijl.
Meer over Penrose betegelingen en plakmogelijkheden lees je in het GeoGebraboek Penrose betegelingen.