Symmetrie ganzrationaler Funktionen
Ein Wort zur Symmetrie von Funktionsgraphen:
Achsensymmetrie ist eine Eigenschaft einer Figur in der Geometrie. Eine Figur heißt achsensymmetrisch, wenn sie durch die senkrechten Achsenspiegelung an ihrer Symmetrieachse auf sich selbst abgebildet wird. Man sagt dass eine Funktion f achsensymmetrisch zur y-Achseist, wenn die y-Achse des Koordinatensystems die Spiegelachse ist.
Die Punktsymmetrie, auch Zentralsymmetrie, ist in der Geometrie eine Eigenschaft einer Figur. Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie durch die Spiegelung an einem Symmetriepunkt auf sich selbst abgebildet wird. Man sagt dass eine Funktion g punktsymmetrisch zum Koordinatenursprungist, wenn der Koordinatenursprung der Symmetriepunkt ist.
Vergegenwärtigen Sie sich diese Definitionen, indem Sie nacheinander die Funktionen f, g und h einblenden und sich die folgenden Aussagen klarmachen:
- Die Funktion f ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
- Die Funktion g ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
- Die Funktion h ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Skizzieren Sie anschließend die Funktionen f und g in Ihr Heft und deuten Sie jeweils die Spiegelungen (mit Bleistift) an.
Die folgende Grafik zeigt eine ganzrationale Funktion 3ten Grades f(x)=ax^3+bx^2+cx+d. Die Werte der Koeffizienten können mit Hilfe der Schieberegler verändert werden. Finden Sie 5 Funktionen f1 bis f5, die punktsymmetrisch zum Ursprung sind und notieren Sie die jeweiligen Funktionsgleichungen in Ihrem Heft. Haben die von Ihnen gefundenen Funktionen f1 bis f5 irgendwelche Gemeinsamkeiten? Notieren Sie diese in Ihrem Heft.Die folgende Grafik zeigt eine ganzrationale Funktion 4ten Grades g(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e. Die Werte der Koeffizienten können auch hier mit Hilfe der Schieberegler verändert werden. Finden Sie 5 Funktionen g1 bis g5, die achsensymmetrisch zur y-Achse sind und notieren Sie die jeweiligen Funktionsgleichungen in Ihrem Heft.
Haben die von Ihnen gefundenen Funktionen g1 bis g5 irgendwelche Gemeinsamkeiten? Notieren Sie diese in Ihrem Heft.
Eine allgemeine Gesetzmäßigkeit besagt:
- Eine Funktion f ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f(x)=f(-x) für alle x Element von D gilt.
- Eine Funktion g ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, wenn g(-x)=-g(x) für alle x Element von D gilt.
Überprüfen Sie diese Aussagen mit Hilfe der von Ihnen gefundenen Funktionen f1 bis f5 bzw. g1 bis g5.