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As Equações Diofantinas Lineares

Autor:Gregorio Tomas da Silva Gonzaga

Introdução

Muitos problemas cotidianos se ocupam na determinação de quantidades inteiras tais como o número de alunos e alunas do curso de Lógica, ou o número de patas de carneiros e galinhas de um quintal. Esses problemas são denominados problemas Lineares indeterminados e nós iremos apresentar uma possível solução através das Equações Diofantinas Lineares.

Problema Motivador

Roberto tem em sua carteira cédulas de R$ 2,00 e R$ 5,00. Ele deseja pagar R$ 26,00 por uma refeição no restaurante da faculdade. De quantas maneiras distintas, utilizando pelo menos uma cédula de cada tipo das que constam na carteira de Roberto, podemos pagar a refeição? e quais são elas? Modelando matematicamente o problema: vamos chamar de a quantidade de cédulas de R$ 2,00 e de a quantidade de cédulas de R$ 5,00. Assim, teremos a equação: Este tipo de equação representa um grupo de equações especiais que iremos definir a seguir.

Definição

Uma equação diofantina linear em duas variáveis é uma expressão da forma na qual e são inteiros, com e não simultaneamente nulos e cujas soluções estão restritas ao conjunto dos números inteiros.

Resolução de Equações Diofantinas Lineares

Uma solução desse tipo de equação é um par de inteiros tal que Por exemplo, a equação do problema motivador tem como solução particular o par de inteiros . De fato,

Reflita e responda: Ao mover o controle t você encontrou três soluções. Todas elas satisfazem o problema motivador?
Uma maneira de resolver uma equação diofantina linear é por meio da tentativa e erro. Acreditasse que durante a Idade Média esse tenha sido o método mais utilizado para solucionar tais equações. Para muitos problemas, o método da tentativa e erro pode levar a uma busca incessantemente dolorosa se forem necessárias muitas tentativas. Além disso, algumas equações diofantinas lineares não admitem solução inteira, como é o caso da equação . Com efeito, suponhamos, por absurdo, que seja uma solução dessa equação, isto é: , ou ainda . O numerador dessa fração é um número ímpar para qualquer valor inteiro de , ou seja, a divisão do numerador por 2 não será um número inteiro. Portanto, a equação dada não possui solução inteira. A proposição a seguir nos dará a condição necessária e suficiente para sabermos se uma equação diofantina linear possui ou não soluções, e a partir daí possibilitarmos o cálculo das suas soluções.

Proposição: A equação diofantina linear admite solução inteira se, e somente se, o máximo divisor comum entre e divide . Demonstração: seja . Se , então existe um inteiro tal que ; além disso, existem inteiros e tais que . logo, e por tanto, é uma solução da equação. Reciprocamente, suponhamos que seja uma solução da equação, isto é: . Como e , então .

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