ES 2.16
PROCEDURA:
Come prescritto dal testo dell'esercizio la lunghezza del segmento AB è stata scelta in modo tale che risultasse pari a 2,5 volte il raggio di tutte le circonferenze utilizzate.
Dato il segmento AB si procede in questo modo:
-si traccia la circonferenza di centro A e raggio r. Chiamiamola g. Questa interseca AB in C. {1 STEP}
-si traccia la circonferenza di centro C e raggio r. Chiamiamola h. {1 STEP}
-le circonferenze g e h si intersecano in G.
-si traccia la circonferenza di centro B e raggio r. Questa interseca AB in D. {1 STEP}
-si traccia la circonferenza di centro D e raggio r. Chiamiamola k. {1 STEP}
-le circonferenze h e k si intersecano in E, D: tracciamo la retta per questi due punti. {1 STEP}
-si traccia la retta per A e G: questa interseca la retta EF in I: esso è il vertice del nostro triangolo equilatero. {1 STEP}
TOTALE PASSI: 6.
DIMOSTRAZIONE:
Tutte le circonferenze hanno uguale raggio per costruzione. In particolare, AGC è un triangolo equilatero e lo stesso vale per il triangolo HDB. Dato che la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a due angoli retti, e un triangolo equilatero ha tutti gli angoli congruenti (dato che i lati lo sono), allora ogni angolo è pari a (2R/3). Consideriamo il triangolo ABI. Gli angoli alla base sono pari a (2R/3), ma allora significa che anche l'angolo al vertice ha lo stesso valore e dato che gli angoli sono tutti congruenti, lo saranno anche i lati. Pertanto ABI è un triangolo equilatero.