Topvinkler og ensliggende vinkler
- Forfatter
- Daniel SU
- Emne:
- Vinkler
En lige linje
En lige linje er det samme som to linjer, der har en vinkel på 180 grader - Man kan slet ikke se forskel! Træk i slideren herunder, og lav de to linjer til én linje med en vinkel på 180 grader.
En lige linje = en vinkel på 180 grader
Indledning
En regnehistorie:
Annette og Bente har 180 kroner til sammen. De ved ikke hvor mange penge de har hver især.
Man kan sige at 180 kroner er det samme som Annetes plus Bentes penge:
Bente tager hjem til sin kæreste Cecilie. Bente har taget alle sine penge med hjem til Cecilie. TIl sammen har de også 180 kroner!
Nu siger Bente noget helt vildt: Hun siger at Cecilie har lige så mange penge som Annette! Hvordan kan hun vide det, når hun faktisk ikke ved hvor mange penge hverken Annette eller Cecilie har?
Bente ved, at hun i begge tilfælde havde 180 kroner tilsammen, så man kan sætte de to lig med hinanden:
Det må også betyde at:
Ligegyldigt hvor mange penge Bente har, så kan man trække "Bentes penge" fra på begge sider:
Så finder man ud af, at Annette har lige så mange penge som Cecilie, ligegyldigt hvor mange penge Bente har.
Måske man kan bruge den fortælling lige om lidt?
Topvinkler
En lige linje har en vinkel på 180 grader. Hvis man kigger på tegningen herunder, så kan vi se at der er to linjer (linje g og linje f) der skærer hinanden.
Man kalder to vinkler, der er overfor hinanden i skæringspunktet mellem to linjer for topvinkler. Herunder er og fx topvinkler, fordi de er overfor hinanden. Topvinklers vinkel er altid ens.
Opgave 1: Er og også topvinkler? Er og topvinkler?
Fra tegningen herover ved vi, at lige linjer er en vinkel på i alt 180 grader, og de to her kan vi se, at linjen f er delt i de to vinkler og . Hvis man lægger og sammen, må det være det samme som hele vinklen på 180 grader:
Den anden linje (linjen g) er også 180 grader i alt, hvis man lægger dens to vinkler sammen:
Begge formler giver 180 grader, så vi kan sætte dem lig hinanden (fordi 180 grader = 180 grader):
Og da vinklen er med på begge sider, kan vi trække den fra:
Det giver
OMG! Nu har vi lige bevist med vaskeægte matematik at vinkel og vinkel altid er den samme, og vi har gjort det udelukkende ved at vide, at en lige linje har en vinkel på 180 grader. Wow hvor er matematik bare lækkert!
Opgave 2: Prøv at følge ovenstående fremgangsmåde til at bevise, at de to vinkler og også må være lige store. Skriv ned hvad du gør - Hvordan kan du være sikker på, at du har ret?
Ensliggende vinkler
Herunder ses en konstruktion bestående af to parallelle linjer, der gennemskæres af en anden linje.
Linjerne l og m er parallelle, og de gennemskæres af linjen n.
På den måde fremkommer der 8 vinkler, hvoraf nogle af dem er indtaget herunder. Da linjerne l og m er parallelle, vil vinklerne også være ens i de to skæringspunkter med linjen n. Man siger at vinklerne kan være ensliggende, fordi de ligger det samme sted.
Opgave 3: Prøv at flytte rundt på punkterne på tegningen herunder - Hvad kan du sige om vinklernes indbyrdes relation og sammenhæng med hinanden?
Opgave 4: Hvor mange grader er de to manglende vinkler ved punktet C? Hvordan kan du vide det?
Ensliggende vinkler
Vinkelsummen i en trekant
Herunder ses en trekant, som er dannet af de tre linjer f, g og h. Den røde linje i er parallel med linjen h.
I sidste time lærte vi alle sammen, at vinkelsummen i en trekant altid er 180 grader. I den her time har I allerede lært, at en lige streg kan have en vinkel på 180 grader.
I har også lært, at topvinkler hører sammen i par, der har identiske vinkler. Det får man nok brug for.
Opgave 5: Brug din viden om topvinkler og ensliggende vinkler til at forklare, hvorfor vinkelsummen i en trekant altid er 180 grader, når du ved, at en lige linje er det samme som en vinkel på 180 grader (som vist i toppen af dette dokument). Lige herunder har jeg gemt tre hints, hvis man har brug for en hjælpende hånd.
Du skal bruge ordene "topvinkel", "ensliggende" og "parallel" i dit svar, da det er ord du skal bruge for at argumentere for, at vinkelsummen er 180 grader. Du må ikke tegne andre ting, end de ting der allerede er på tegningen.
Hint 1: Der er tre vinkler i en trekant.
Hint 2: Man kan tegne tre vinkler over den røde linje i.
Hint 3: Hvad er topvinklen til vinklen B?
Vinkelsummen i en trekant
Brug din lækre viden på denne svære trekant
Opgave 6: Kig godt på trekanten herunder. Linjerne h og m er parallelle. Brug din lækre viden om trekanter og vinkler til at finde ud af, hvad vinkel A, B og C er i trekanten ABC herunder.