Folium de Descartes
Es una curva algebraica de grado 3, definida por la ecuación implícita x³ + y³ - 3axy = 0. Considerando al parámetro a como variable, es una ecuación homogénea de grado 3, de manera que si multiplicamos una solución por cualquier valor real, obtenemos otra solución. Entonces el parámetro a es un simple factor de escala, su variación no modifica la forma de la curva, sino tan solo sus dimensiones. Para estudiarla, podría hacerse entonces a = 1 sin pérdida de generalidad.
Se ve fácilmente que tiene un punto doble en el origen y a la recta x+y = a como asíntota, siendo simétrica respecto a la recta y = x. Forma un bucle B en el primer cuadrante, siendo el punto (3/2 a, 3/2 a) su vértice y punto más alejado del origen. En el 2º y 4º cuadrantes forma dos «alas», que delimitan con la asíntota áreas finitas A₁ y A₂.
Se puede obtener una parametrización racional de la curva muy fácilmente, puesto que es unicursal, al tener un punto doble. Basta considerar el punto P, la otra intersección de cualquier recta y = tx con la curva. Para t = -1, pendiente de la asíntota, se obtiene el único punto del infinito de la curva.
Utilizando estas ecuaciones paramétricas, o la polar deducida de ellas, es facil obtener que el área del bucle es igual a la limitada por el «folium» y su asíntota, así como esta última región queda dividida entres partes iguales por los ejes de coordenadas.
Como curiosidad, se muestra una división del bucle en tres partes de igual área.
La curva fue estudiada por René Descartes en 1638, y la utilizó para retar a Pierre de Fermat a encontrar su línea tangente en cualquier punto, cosa que este resolvió fácilmente con sus descubrimientos en cálculo diferencial.