Derivace funkce

Historické definice vyjadřovaly derivaci jako poměr, v jakém růst či pokles závislé proměnné y odpovídá změně nezávisle proměnné x. Nejjednodušší představa o derivaci je, že „derivace je mírou změny funkce v daném bodě, resp. bodech“. Derivace je hodnota podílu Δy/Δx pro Δx jdoucí k 0. Nahradíme-li konečně malý rozdíl Δx nekonečně malou změnou dx, získáme intuitivní definici derivace. V grafickém okně je funkce diskretizována krokem Δx = 1. Pro tento krok jsou vypočítány rozdíly funkčních hodnot, tj. diference f(x+Δx)-f(x).
Derivace měří míru změny. Pro diference s krokem Δx=1 dostáme pro kvadratickou funkci f(x) = x2: f(x+1)-f(x)=(x+1)2 - x2 = 2x + 1 pro obecný přírustek Δx: (f(x+Δx)-f(x))/Δx=((x+Δx)2 - x2 )/Δx= 2x + Δx

Diskretizace definičního oboru funkce a výpočet diferencí

V grafickém okně je funkce f(x) diskretizována krokem dx. Pro tento krok jsou vypočítány rozdíly funkčních hodnot, tj. diference f(x+dx)-f(x).
V appletu změňte posuvníkem hodnotu přírustku dx, graf diferencí bude stále stejný (až na posun o dx). Pro kontrolu zobrazte funkci derivace f' určenou přímým nástrojem GeoGebry Derivace(f). Vyzkoušejte změnit definici funkce f(x) v prvním řádku algebraického okna. Pozor, applet diskretizuje jen interval (0,8) vytvářením posloupnosti bodů (i,f(i)).
V appletu můžete zmenšovat přírustek dx až k hodnotě 0,2. Míru změny určujeme poměrem Je-li funkce rostoucí, je změna kladná, pro klesající funkci je změna záporná. Zkoumáme-li změnu v nekonečně malém (infinitesimálním) přírustku dx, dostaneme definici derivace pomocí limity pro . . Pro podrobnější studium a přechod k formální definici derivace pomocí limity doporučuji skriptum Burda P.: Matematika I, nebo kapitolu derivace na serveru matematika.cz.
Image