Équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants
- Auteur :
- Christian Mercat
Une équation différentielle du second ordre donne une relation entre les valeurs de la fonction, de sa dérivée première et de sa dérivée seconde. Elle est linéaire à coefficients constants quand cette relation est linéaire et ne dépend pas du temps. Le caractère homogène signifie qu'on parle d'une relation qui n'est pas affine mais vraiment linéaire.
Elle est donc de la forme .
Ses solutions peuvent être calculées explicitement et visualisées dans l'espace des phases où les points sont de la forme (y,y'), l'abscisse est la position et l'ordonnée la vitesse. Leur comportement dépend beaucoup des racines et du discriminant du polynôme quadratique , en particulier du signe de , positif avec deux solutions exponentielles, nulle avec une solution de la forme , négatif avec des solutions périodiques amorties ou amplifiées.
Deux courbes intégrales sont dessinées, définies de manière unique par des conditions initiales de position et de dérivée, associées à deux points A et B dans l'espace des phases qui définissent des conditions initiales de position et de vitesse à un temps donné. Vous pouvez modifier ces conditions initiales, aussi bien dans l'espace des phases que dans la vue des graphes de fonction du temps. Les fonctions solutions correspondantes sont affichées dans la fenêtre du dessous avec la valeur et la dérivée au temps que vous pouvez modifier. En translatant les points horizontalement dans cette vue fonctionnelle, on change l'instant de départ mais pas la trajectoire dans l'espace des phases! Il s'agit simplement d'un reparamétrage de cette courbe.
Vous pouvez également modifier les paramètres b et c qui définissent l'équation différentielle . Notez le changement radical de comportement en fonction du signe du discriminant ∆ ainsi que l'aspect dissipatif et en contraction convergeant vers 0, conservatif pour , ou en expansion divergeant vers l'infini.
Vous pouvez enfin visualiser le wronskien des deux fonctions à un instant donné, qui est l'aire du parallélogramme défini par ces deux points dans l'espace des phases. Jouez avec les conditions initiales pour rendre ce wronskien nul (le parallélogramme est plat). Vous constatez alors que ce wronskien reste nul: deux conditions initiales en position et en vitesse qui sont proportionnelles à un instant donné donnent lieu à des fonctions solutions qui restent proportionnelles dans le temps.
Vidéo d'explication