Esempi particolari di funzioni
In questo capitolo studiamo alcuni esempi speciali di funzioni, che in seguito saranno utili per definire in modo semplice esempi di certi tipi di proprietà.
FUNZIONI DEFINITE A TRATTI
Se la legge che partendo da un certo input ci permette di ottenere il corrispondente risultato cambia a seconda dell'intervallo di valori in cui consideriamo la di partenza, possiamo descrivere questo comportamento con una funzione definita a tratti. Ne vediamo un esempio nell'animazione qui sotto.
LE FUNZIONI CON VALORI ASSOLUTI Le funzioni in cui compaiono degli operatori di modulo, o valore assoluto, possono essere viste come esempi particolari di funzioni definite a tratti. Questo perché il modo di calcolare il risultato del valore assoluto cambia a seconda di come è fatto il suo argomento, e quindi deve essere definito in modo diverso a seconda dei casi. Vediamo alcuni esempi. Sappiamo che prendere il valore assoluto di un numero significa considerare quel numero senza il suo segno. Ad esempio mentre . Dato che un numero senza segno si intende positivo, se ne conclude che il valore assoluto di qualsiasi numero non è mai negativo e questo ci permette di dire che il valore assoluto di una quantità coincide con la quantità stessa quando essa è positiva, mentre è la quantità cambiata di segno quando essa è negativa (se è negativa le cambiamo di segno e la facciamo diventare positiva). Per trovare il valore assoluto quindi si segue una legge diversa a seconda dell'argomento, cioè della quantità tra valore assoluto:- argomento positivo prendi una copia dell'argomento;
- argomento negativo prendi l'argomento con il segno cambiato.
- quando argomento del modulo è positivo, prenderemo il modulo così com'é
- quando invece è negativo lo moltiplicheremo per in modo da cambiargli di segno.
- per le dobbiamo seguire la legge verde, perché con esse l'argomento risulta positivo e quindi non ha bisogno di cambiare di segno,
- per le altre la legge rossa, perché con esse risulta negativo e quindi il valore assoluto gli cambia di segno.
I grafici con valore assoluto hanno risultato sempre positivo, e per loro vale il discorso della simmetria attorno all'asse delle x, solo se l'intera espressione della funzione è presa in valore assoluto (e quindi è garantita essere positiva). Se l'operatore di modulo è applicato solo ad una parte di essa questo non vale più, anche se continua ad essere applicabile l'approccio "a tratti".
Se ad esempio consideriamo la funzione , possiamo osservare che
- abbiamo la garanzia che il valore assoluto sarà non negativo; tuttavia la , che si ottiene sottraendo a questo un , non ha la stessa garanzia;
- per ottenere la legge con cui calcolare il risultato dovremo discutere il segno dell'argomento del valore assoluto:
Nell'ultima parte dell'attività abbiamo utilizzato quello che abbiamo imparato sulla traslazione di elementi nel piano cartesiano per vedere in un altro modo come tracciare la curva della funzione. Nel caso tu abbia bisogno di ripassare questo argomento, lo puoi trovare in questo capitolo.
Nel prossimo capitolo vedremo come la conoscenza delle funzioni che contengono valori assoluti è molto utile per visualizzare e risolvere equazioni e disequazioni che contengono questo operatore.