Indeterminación 0/0
En esta página proporcionamos algunos ejemplos de límites con la indeterminación 0 dividido entre 0 y algunos métodos para poder evitarla.
1. Indeterminación 0/0
La expresión algebraica 0/0 aparece frecuentemente en el cálculo de límites. Se trata de una indeterminación puesto que aparece en el límite de funciones distintas cuyos límites son distintos.
Por ejemplo,
Sin embargo, el primer límite es 1/2 y el segundo es 1. Este ejemplo prueba que 0/0 es una forma indeterminada.
Obviamente, esta indeterminación aparece en los límites de cocientes y, normalmente, es fácil de evitar reescribiendo el cociente de un modo distinto. Si esto no es posible, siempre podemos aplicar la regla de L’Hôpital (válida para las indeterminaciones 0/0 y ∞/∞).
Sin embargo, el primer límite es 1/2 y el segundo es 1. Este ejemplo prueba que 0/0 es una forma indeterminada.
Obviamente, esta indeterminación aparece en los límites de cocientes y, normalmente, es fácil de evitar reescribiendo el cociente de un modo distinto. Si esto no es posible, siempre podemos aplicar la regla de L’Hôpital (válida para las indeterminaciones 0/0 y ∞/∞).2. Cocientes de polinomios
En los límites cuando x tiende a un punto finito , la indeterminación 0/0 aparece en los cocientes de polinomios para los que a es una raíz.
Por ejemplo, como vimos anteriormente,
Solventar este problema es sencillo si escribimos los polinomios en forma factorizada (a partir de sus raíces) para simplificar el cociente:
Así, la indeterminación desaparece:
Solventar este problema es sencillo si escribimos los polinomios en forma factorizada (a partir de sus raíces) para simplificar el cociente:
Así, la indeterminación desaparece:
3. Regla de L’Hôpital
La regla de L’Hôpital es un resultado de cálculo diferencial que nos permite calcular límites con la indeterminación 0/0 ó ∞/∞:
Por ejemplo, tenemos 0/0 en el siguiente límite:
Como la derivada del seno es el coseno y la derivada de x es 1, por la regla de L’Hôpital,
Por ejemplo, tenemos 0/0 en el siguiente límite:
Como la derivada del seno es el coseno y la derivada de x es 1, por la regla de L’Hôpital,
Otros ejemplos
Ejemplo 1
Solución:
Como en el denominador tenemos una resta con una raíz cuadrada, multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador:
Por tanto, el límite es
Ejemplo 2
Solución:
Tenemos la indeterminación 0 entre 0, pero podemos evitarla fácilmente aplicando las propiedades de los logaritmos:
El resultado es infinito porque la función tiende a ln(3)/0. Además, el infinito es positivo porque el denominador, x2 , siempre lo es.
Más ejemplos en indeterminación 0 partido 0.
Solución:
Como en el denominador tenemos una resta con una raíz cuadrada, multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador:
Por tanto, el límite es
Ejemplo 2
Solución:
Tenemos la indeterminación 0 entre 0, pero podemos evitarla fácilmente aplicando las propiedades de los logaritmos:
El resultado es infinito porque la función tiende a ln(3)/0. Además, el infinito es positivo porque el denominador, x2 , siempre lo es.
Más ejemplos en indeterminación 0 partido 0.