Deux triangles inscrits dans deux cercles
Trois points sur le cercle unité d'affixes a, b, c ;
que peut-on dire du cercle circonscrit au triangle passant par les sommets d'affixes (a+b), (b+c), (a+c) ?
Le cercle circonscrit au triangle passant par les points d'affixes P(a+b), M(b+c), N(a+c) a pour centre le point I(a+b+c) {se trouve empiriquement avec GeoGebra} et pour rayon 1 ( a pour affixe c, de module 1…).
Technique GeoGebra
Choisir trois curseurs de - π à π pour les arguments α, β et γ des points d'affixes a, b et c.
En créant un nouveau point et en validant le nombre complexe cos(α) + i sin(α) dans le champ de saisie, on obtient le point (cos(α), sin(α)) dans la vue graphique. Nommer ce point a : confusion d'un point a et de son affixe a par GeoGebra,
de même pour b : (cos(β) + i sin(β)) et c : (cos(γ) + i sin(γ)).
Enfin créer les nouveaux points d'affixes (a+b), (b+c), (a+c) puis (a+b+c) et les nommer P, M, N et I. Tracer le cercle circonscrit à MNP.
Symétrie centrale
Les triangles abc et MNP sont symétriques par rapport au point J, milieu de [OI].
En effet le point J a pour affixe (a+b+c)/2 ;
Le milieu de [aM] a pour affixe [ a + (b+c)]/2, c'est donc le point J.
De même J est le milieu des segments [bN] et [cP].
Les deux cercles circonscrits sont symétriques par rapport à J, ce qui donne une autre approche de ces cercles.
Centres de gravité
Les points I et J sont sur la droite d'Euler (OG) du triangle abc, cette droite est aussi la droite d'Euler (IG2) du triangle MNP.
Le centre de gravité G du triangle abc a pour affixe (a+b+c)/3,
Le centre de gravité G2 du triangle MNP a pour affixe 2(a+b+c)/3.
Descartes et les Mathématiques - Deux triangles inscrits dans deux cercles de rayons 1