Umkreis & Inkreis eines 4-Ecks
Diese Aktivität ist eine Seite des GeoGebrabooks Zwei Kreise 26.03.2020
Ein 4-Eck besitzt nur dann einen Umkreis, wenn die 4 Punkte auf einem Kreis liegen. Dies ist dann und nur dann der Fall, wenn das komplexe Doppelverhältnis der 4 Punkte reell ist. Unter welcher Bedingung besitzt ein 4-Eck mit Umkreis einen Inkreis? Diese 4-Ecke werden "bizentrisch" genannt. 3 verschiedene Punkte bestimmen einen Kreis durch diese Punkte - wenn sie nicht auf einer Geraden liegen. Ein 4. ter Punkt muss laut Fragestellung auf diesem Umkreis liegen. Ein Inkreis muss z.B. die Seiten und berühren. Die Schnittpunkte der Tangenten von und von an einen solchen Kreis schneiden sich auf einer Hyperbel mit den Brennpunkten , , welche durch geht. Diese Hyperbel schneidet den Umkreis in 4 Punkten (nr 1, .. , 4), von denen der eine oder der andere das gestellte Problem löst. Wählt man z.B. und als Brennpunkte, ergeben sich andere Lösungen. Genauer - es ergeben sich bei diesen Konstruktionen als Lösungen: ein echter Inkreis, 2 "Ankreise" und ein Punktkreis, wenn 2 Punkte zusammenfallen. Hat man eine UmKreis - InKreis - 4-Ecks - Konfiguration gefunden, so beginnt in jedem Punkt des Umkreises ein 4-Eck mit dieser Eigenschaft: Schließungssatz von PONCELET. Fixiere die Kreise und bewege ! Diese Eigenschaft ist auch für die Ankreise erfüllt, allerdings darf der Punkt dann nicht innerhalb des Ankreises liegen!