Rotation des Vektorfeldes

Neben Quellen und Senken können Vektorfelder auch Wirbel aufweisen. Man kann sich hier wieder eine Strömung vorstellen, in die ein drehbar gelagerter Körper gehalten wird. Wird er an dieser Stelle in Rotation versetzt, so spricht man dem Vektorfeld einen solchen Wirbel zu. Je kleiner der Rotationskörper dabei ist, umso genauer wird die lokale Eigenschaft beschrieben. Man spricht dann von der Wirbeldichte des Vektorfeldes am dem betrachteten Punkt. In dieser Aktivität werden wir uns damit beschäftigen, die Rotation eines Vektorfeldes zu beschreiben. Die Bedienung der beiden Applets entspricht dabei der aus den vorangegangenen Abschnitten. Wir werden zunächst eine Situation betrachten, die der bei der Definition der Divergenz ähnelt. Anschließend sehen wir, dass auch verallgemeinerte Betrachtungen für die Beschreibung der Rotation geeignet sind. Die Darstellungen habe ich wieder für die Ebene vorgenommen, obwohl sich die Rotation explizit auf den dreidimensionalen Raum bezieht. Eine entsprechende Übertragung werde ich kurz andeuten.

Wir betrachten zunächst wie bei der Divergenz ein Quadrat als ein Gebiet, in dem wir das Vektorfeld untersuchen wollen. Dass eine rechteckige Form für die Darstellung von Drehungen nicht so anschaulich wirkt, soll uns erst einmal nicht stören. Im Vergleich zur Divergenz betrachten wir jetzt die Komponente des Fel des, welche parallel zur Seite des Quadrates wirkt. Bei der Divergenz war das die orthogonale Komponente. Als Beispiel wählen Sie im ersten Applet die rotierende Scheibe. Das Vektorfeld beschreibt die jeweilige Geschwindigkeit an jedem Punkt der Scheibe. Der Betrag wächst proportional zum Abstand vom Drehpunkt, die Richtung ist stets orthogonal zum Radiusvektor. Damit wirken auf die Mitten des Quadrates die jeweilig eingezeichneten Geschwindigkeitsanteile. In der Darstellung habe ich die Differenzvektoren jeweils gegenüberliegender Komponenten fett eingetragen. Sowohl der rot markierte als auch der blau dargestellte Pfeil zeigt an, dass das Quadrat eine Linksdrehung erfahren wird. Da die Pfeillänge nicht von der Länge der Quadratseite, an der der Pfeil anliegt, abhängen darf, stellt seine Länge so etwas wie die Rotationswirkung bezogen auf eine Längeneinheit dar. Die beiden Differenzvektoren werden sich weniger voneinander unterscheiden, wenn wir das Quadrat kleiner machen. Daher teilen wir den Betrag der Differenz durch die Breite des Quadrates. Wir fassen die Gesamtrotation als die Summe der roten und der blauen Resultierenden auf und definieren . Der Index "xy" kennzeichnet hierbei die Drehung in der xy-Ebene. Außerdem haben wir von einer Summe gesprochen, in der Definitionsgleichung steht aber eine Differenz. Das rührt daher, dass der resultierende Vektor an der Oberseite entgegen der x-Richtung zeigt. Somit ist in diesem Falle negativ. Damit der Beitrag insgesamt positiv ist, subtrahieren wir ihn also. Jetzt kann wieder der Grenzübergang für sehr kleine Quadrate erfolgen. Die Quotienten nähern sich dann den jeweiligen Differentialen an. Wir können definieren. Bereits beim Kreuzprodukt haben wir der Rotation einen Vektor zugewiesen. Hier machen wir das entsprechend, indem wir mit dem Zeigefinger der rechten Hand in x-Richtung und mit dem Mittelfinger in y-Richtung zeigen. Der Daumen weist dann in z-Richtung. Wir schreiben . Veranschaulichen Sie den Grenzübergang, indem Sie im Applet das geschlossene Feld als Beispiel auswählen. Bewegen Sie den Schieberegler nach links, so nähert sich die Differenz tatsächlich der Null an.



Im Applet betrachten wir nur die xy-Ebene. Die Rotation von der x- zur y-Richtung weist im Rechtssystem (wir haben die rechte Hand verwendet) in die z-Richtung (blaue Pfeile im Bild). In der Physik kann jedoch eine Drehachse beliebig im Raum liegen. Zumindest für die beiden verbleibenden Koordinatenebenen schreiben wir nun den Rotationsvektor auf. Dabei müssen wir überlegen, welche der beiden Ableitungen der Minuend, Welcher der Subtrahend ist. Für die x-z-Ebene drehen wir von z- zur x-Richtung, damit der Ergebnisvektor in y-Richtung zeigt. Wir erhalten (rote Pfeile). Für die x-Richtung drehen wir von y nach z, das Ergebnis ist (gelbe Pfeile). Es fällt auf, dass die Differenzen so gebildet werden, wie wir es vom Kreuzprodukt her bereits kennen. Wir bilden die Summe dieser drei Vektoren und definieren damit die Rotation eines Vektorfeldes . Formal ist das die gleiche Struktur, als würde man das Kreuzprodukt des aus den partiellen Ableitungen gebildeten Vektors mit dem Feldvektor bilden. Mit dem Nabla-Vektor schreiben wir .

Zu den Beispielen: Rotierende Scheibe: Der Betrag der Geschwindigkeiten in diesem Beispiel ist . Aus der Definition für die Winkelgeschwindigkeit leiten wir ab, dass hier gilt. Wählen wir daher das allgemeinere Vektorfeld , also und . Also ist . Im Beispiel ist daher passend. Geschlossenes Feld: Dieser Fall ist aus der Elektrodynamik bekannt: Das Magnetfeld um einen langen, geraden Leiter, der von einem Strom durchflossen ist, weist kreisförmige Feldlinien auf. Diese sind geschlossen. Daher habe ich das Beispiel entsprechend benannt. Die Feldstärke nimmt mit der Entfernung zum Leiter gemäß der Gleichung ab. Daraus habe ich das Vektorfeld konstruiert. Die Ableitungen sind und . Beide sind gleich, also ist ihre Differenz null. Wir haben es also mit einem Feld zu tun, das wohl geschlossene Feldlinien besitzt, das aber dennoch über seinem Definitionsbereich wirbelfrei ist. Wir ahnen schon: Beim elektrischen Feld und seiner Divergenz konnten wir für Punktladungen eine Ergänzung vornehmen. Im nächsten Abschnitt werden wir sehen, dass es beim Magnetfeld etwas entsprechendes gibt. Entgegengesetzte Rotation: Dieses Beispiel habe ich aus der Überlegung heraus gewählt, dass, wenn sich bei der rotierenden Scheibe die beiden zueinander orthogonalen Rotationsanteile ergänzen, sich diese aufheben sollten, wenn bei einer von beiden die Richtung geändert wird. So habe ich bei zu diesem Zweck das Vorzeichen weggelassen. Damit bewirken beide Anteile tatsächlich an jeder Stelle tatsächlich gleichgroße, aber entgegengesetzte Teilrotationen. Deren Summe ist sogar ohne Grenzübergang stets null. Das Feld ist wirbelfrei. Feld nur in x-Richtung: Bisher haben wir Felder betrachtet, bei denen die Pfeile, die eine grobe Vorstellung von der Form des Feldes geben sollten, immer das Vorhandensein von Wirbeln nahelegten. Darunter hat das Geschwindigkeitsfeld für die rotierende Scheibe tatsächlich eine von null verschiedene Rotation. Bei den anderen beiden finden wir jedoch keine Wirbel. Das lässt sich besonders beim Beispiel für das Magnetfeld nicht direkt aus der Grafik ablesen. Hier nun habe ich ein Beispiel gewählt, bei dem das Feld überall geradlinig aussieht, aber mit außer für überall die Rotation verschieden von null ist. Sowohl bei der Divergenz als auch bei der Rotation kann das tatsächliche Verhalten nicht sicher aus der Darstellung der Vektorpfeile geschlossen werden. Nun hatte ich erwähnt, dass das Quadrat für die Anschauung nicht sehr geeignet ist, zudem haben wir das Quadrat in unseren Betrachtungen nur für den Bezug zur Divergenz benötigt. Daher habe ich eine teilweise Verallgemeinerung versucht, bei der ich einerseits das Quadrat durch einen Kreis ersetzt und andererseits auch zwei zueinander orthogonale Vektoren, die nicht achsparallel zeigen, verwendet habe. Wem jedoch das bisherige zum Grundverständnis genügt, kann hier direkt mit den Sätzen von Green und Stokes fortfahren.

Bei den Überlegungen, für die Rotation ähnlich wie bei der Divergenz auf ein Quadrat zurückzugreifen, hat mich die starke Beschränkung auf den Anteil des Feldes je Seitenlänge, anstelle eines Integrals, gestört. Außerdem fragte ich mich, ob man die Rotation auch anhand zweier, doch noch zueinander orthogonalen Richtungen, die aber keine Parallelität zu den Koordinatenachsen aufweist, erläutern kann. Den zweiten Gedanken habe ich hier für den Teil 2 ausgeführt: Herleitung unter Verwendung des Kreuzproduktes: Hier soll das Vektorfeld ähnlich der Kraft beim Drehmoment an jeweils einem "Kraftarm" angreifen und somit die Rotation versinnbildlichen. Es wird sich zeigen, dass die Anwendung des Kreuzprodukts auch wieder zielführend sein wird. Sei nun der Winkel, den der Vektorpfeil von mit der x-Achse einschließt, dann sind die Richtungen von aus und . Wir bilden die Differenzen aus den Feldvektoren bei und , sowie und . Sie lauten und . Um deren Beiträge zur Rotation zu bestimmen, berechnen wir die z-Koordinaten der Kreuzprodukte mit den Vektoren und zu

.

Um später die Differenzenquotienten bilden und deren Grenzwerte betrachten zu können, fügen wir jeweils einen Summanden vom Wert null ein und dividieren durch :

.

Jetzt kann die Grenzwertbetrachtung durchgeführt werden. Dabei ist zu beachten, dass vor der Grenzwertbildung jeder Bruch mit der passenden Winkelfunktion erweitert wird. Wir erhalten

.

Von diesen beiden Anteilen bilden wir die Summe. Durch Ausmultiplizieren und Anwendung von vereinfacht sie sich zu . Das ist auch wieder die z-Koordinate der Wirbeldichte. Wirkung auf den geschlossenen Rand eines Kreises: Bei den bisherigen Überlegungen bin ich immer von zwei zueinander orthogonalen Richtungen ausgegangen, auf die das Vektorfeld einwirkt. Einerseits liegt das wegen des verwendeten Koordinatensystems nahe. Andererseits könnte es bei nur einem "Hebelarm" dazu kommen, dass das Vektorfeld gerade parallel zur gewählten Richtung wirkt und somit keine Drehung hervorruft. Aber reichen ausgerechnet zwei spezielle Richtungen aus? Offenbar war das für die Definition der Rotation ausreichend. Zufriedener ist man sicherlich dann, wenn alle Vektor-Hebel-Paare in die Betrachtung eingehen würden. Man müsste dann diese Summe lediglich auf den Inhalt der umrundeten Fläche zu normieren und die Fläche möglichst klein wählen. Für ein kreisförmiges Gebiet in der xy-Ebene haben wir sogar schon ein brauchbares Zwischenergebnis: Wählen wir nur den Anteil , so ist beim Winkel genau solch ein Stück bezogen auf die Kreisfläche, das einen kleinen Beitrag zur Rotation liefert. Für hinreichend kleine Radien haben wir schon gefunden, dass dieser Anteil sich dem differentiellen Ausdruck annähert. Um alle Richtungen zu beachten, addieren wir all diese infinitesimalen Anteile, das heißt, wir berechnen das Integral

.

Auch das führt zur z-Komponente der Rotation. Die Gedanken, die uns zu diesem Ergebnis führten, werden uns im nächsten Abschnitt für den Satz von Green hilfreich sein. Ohne Nachweis verallgemeinern wir auf beliebige geeignete, von einer geschlossenen Kurve begrenzte Fläche .