Besondere Punkte und Ortslinien im Dreieck
Beliebige Dreiecke ABC
Aufgabe 1: Arten von Dreiecken
Das obige Dreieck ABC besitzt die drei besonderen Punkte
- Umkreismittelpunkt U
- Schwerpunkt S
- Höhenschnittpunkt H
a)
Verschiebe den Punkt C. Beschreibe die Bewegungsrichtungen der drei Punkte U, S und H. Notiere dazu deine Beobachtungen stichpunktartig.
b)
Nenne verschiedene Arten von Dreiecken die du kennst und schreibe sie auf. Gibt es Dreiecke, sodass U, S oder H außerhalb bzw. innerhalb des Dreiecks liegen? Gibt es Dreiecke, sodass U, S oder H auf den Dreiecksseiten oder anderen Punkten liegen?
c)
Stelle eine Vermutung auf, für welche Arten von Dreiecke die Punkte U, S und H außer- und für welche sie innerhalb des Dreiecks liegen. Überprüfe sie durch geeignete Verschiebung des Punktes C. Können alle drei Punkte U, S und H außerhalb des Dreiecks liegen?
Gleichschenklige Dreiecke ABC
Aufgabe 2: Variation der y-Koordinate
Es wurde ein Schieberegler yKoordinate (oben links) eingefügt. Damit lassen sich die y-Koordinaten des Eckpunktes C variieren. Dies erkennst du daran, dass yKoordinate und die y-Koordinate von C immer den gleichen Wert besitzen, wenn du den Regler verschiebst.
a)
Variiere die y-Koordinate des Punktes C. Notiere die Werte der x- und y-Koordinaten von U, S und H für verschiedene Positionen des Punktes C in einer Tabelle. Nenne Besonderheiten für den Fall, wenn yKoordinate = 5.2 gesetzt wird.
b)
Beschreibe die Richtungen von U, S und H aus Aufgabenteil a. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.
(Tipp: Vergleiche die Koordinaten für U, S und H für yKoordinate = 3 und yKoordinate = 6 und beschreibe die Richtungen der jeweiligen Punkte.)
Weitere Dreiecke ABC
Aufgabe 3: Inkreismittelpunkt
Es wurde ein weiterer Schieberegler xKoordinate (oben links) eingefügt. Damit lassen sich die x-Koordinaten des Eckpunktes C variieren. Für das obige Dreieck ABC wurde nun noch der Inkreismittelpunkt I angegeben.
a)
Variiere die x- und y-Koordinaten des Punktes C. Nenne Besonderheiten, wenn du die Position des Punktes I mit den Positionen der drei anderen Punkte U, S und H vergleichst. Nutze dafür die Ergebnisse aus Ausgabe 2.
(Tipp: Halte einen Bleistift als Verbindungsgerade über die Punkte H und U.)
Eine besondere Ortslinie
Aufgabe 4: Die Euler-Gerade
Für das obige Dreieck wurde die Euler-Gerade eingezeichnet. Sie ist eine besondere Ortslinie eines Dreiecks.
a)
Verschiebe den Punkt C. Nenne die Punkte, die immer auf der Euler-Geraden liegen und notiere sie dir.
b)
Gibt es Dreiecke, bei denen U, I, S und H alle auf der Euler-Geraden liegen? Klassifiziere diese Dreiecke.
c)
Gib die Anzahl an, die für eine allgemeine Geradengleichung minimal benötigt werden. Gilt diese Anzahl für eine (allgemeine) Euler-Geradengleichung? Beweise deine Aussage für das Dreieck mit C = (3, 3). Liegt der Punkt I auf der Euler-Geraden? Nutze deine Ergebnisse aus a und b.
d)
Bestimme für das Dreieck C = (1.5, 3) eine Euler-Geradengleichung. Beweise, dass der Punkt I in diesem Fall nicht auf der Euler-Geraden liegt.
Abstände auf der Euler-Geraden
Aufgabe 5: Besonderheiten der Euler-Geraden
Es werden zwei Strecken HS und SU definiert (s. das obige Dreieck ABC). Die Strecke HS (rot) sei der Abstand zwischen den Punkten H und S und die Strecke SU (blau) sei der Abstand zwischen den Punkten S und U.
a)
Fertige eine Tabelle mit den Spaltenüberschriften "Länge von HS" und "Länge von SU" an.
i) Berechne für C = (3, 3.7) die Längen der Strecken HS und SU. Notiere deine Ergebnisse in der Tabelle.
ii) Berechne für C = (0, 6) die Längen der Strecken HS und SU. Runde auf eine Nachkommastelle und notiere deine Ergebnisse in der Tabelle.
b)
Beschreibe Auffälligkeiten für die Strecken HS und SU aus Teilaufgabe a. Setze dafür HS und SU jeweils ins Verhältnis.
c)
Formuliere mit Hilfe der Ergebnisse aus b eine Gleichung der Form aHS = bSU. Überprüfe dein Ergebnis mit weiteren Variationen der Koordinaten des Punktes C. Runde dabei jeweils auf eine Nachkommastelle.
d)
Berechne die Länge der Strecke SU, wenn H und S die Koordinaten (1.7, 4.06) und (2.57, 0.6) besitzen und runde auf zwei Nachkommastellen. Setze nun C = (1.7, 1.8) und bestimme mit den Koordinaten von S und U wieder die Länge der Strecke SU und runde auf zwei Nachkommastellen. Sind deine Ergebnisse gleich? Erkläre dein Ergebnis.
(Tipp: Nutze deine Gleichung aus c.)