Isometrías afines

Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Cambio de sistema de referencia. Una exposición específica de las isometrías, desde el punto de vista geométrico, puede verse en el libro Isometrías. Observa que en este capítulo de Isometrías, en todas ellas, salvo en la traslación, el origen O del nuevo sistema de referencia coincide con el origen cartesiano (0,0). Es decir, este punto (0,0) permanece fijo. Dicho de otro modo, las transformaciones isométricas que hemos visto hasta ahora son todas, salvo la traslación, transformaciones lineales. ¿Cómo podemos entonces realizar una transformación isométrica afín? Es decir, dada una figura plana, ¿cómo podemos girarla alrededor de un centro O arbitrario o reflejarla en una recta arbitraria? Gracias al uso de coordenadas homogéneas y a la composición, el método para lograrlo es muy sencillo. Lo único que tenemos que hacer es componer la traslación con las isometrías lineales ya vistas. En la siguiente construcción se muestra un ejemplo. Queremos girar t grados el punto P y la imagen F alrededor de O. Primero, llamaremos To a la traslación de (0,0) a O. Recordemos que su inversa, T'o es la traslación de O a (0,0). Después, calculamos la matriz de cambio de base correspondiente al giro alrededor del centro cartesiano (0,0):

Así que la matriz de transformación para ese giro será:

Ahora hacemos lo siguiente, en este orden:
  1. Trasladamos el plano por el vector opuesto al vector de posición de O (de este modo, O coincidirá con el origen cartesiano). Es decir, aplicamos T'o.
  2. Aplicamos la transformación lineal Tg.
  3. Volvemos a trasladar el plano, esta vez por el vector de posición de O (de este modo, O volverá a ocupar la posición inicial). Es decir, aplicamos To.
En resumen, la transformación afín que deberemos realizar es:

T = To Tg T'o

Nota: En el caso de querer realizar una reflexión (o reflexión desplazada) afín, es decir, sobre una recta que no pase necesariamente por el (0,0), tomaremos como O un punto cualquiera de esa recta afín y procederemos de modo análogo al descrito.
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.