5.3 Planos en el Espacio

La siguiente pregunta que debe plantearse es: ¿cómo la forma general de la ecuación de una recta se generaliza a ? Razonablemente puede suponer que si es la forma general de la ecuación de una recta en , entonces puede representar una recta en . En forma normal, esta ecuación sería , donde es un vector normal a la recta y corresponde a un punto sobre la recta. Para ver si esta es una hipótesis razonable, considere el caso especial de la ecuación . En forma normal, se convierte en, donde sin embargo, el conjunto de todos los vectores que satisfacen esta ecuación es el conjunto de todos los vectores ortogonales a que es infinito:
. Como se muestra en la figura siguiente, vectores en infinitas direcciones tienen esta propiedad, lo que determina una familia de planos paralelos. De modo que la suposición fue incorrecta: parece que es la ecuación de un plano, no de una recta, en . precisando más este hallazgo. Todo plano en puede determinarse al especificar unpunto p sobre el plano y un vector distinto de cero normal a l plano si x representa un punto arbitrario sobre el plano, se tiene que o si entonces, en términos de componentes, la ecuación se convierte en (donde ).Note que cualquier múltiplo escalar de un vector normal para un plano es otro vector normal.

Ecuación Vectorial del Plano

Geométricamente, es claro que planos paralelos tienen los mismos vectores normales. Por tanto, sus ecuaciones generales tienen lados izquierdos que son múltiplos mutuos. De este modo, por ejemplo, es la ecuación general de un plano que es paralelo al plano de donde se ve que los dos planos tienen el mismo vector normal . (Note que los planos no coinciden, pues los lados derechos de sus ecuaciones son distintos.) También se puede expresar la ecuación de un plano en forma vectorial o paramétrica. Para hacerlo, observe que un plano también puede determinarse al especificar uno de sus puntos P (por el vector p) y dos vectores directores u y v paralelos al plano (pero no mutuamente paralelos), dado cualquier punto X en el plano (ubicado por x), siempre se pueden encontrar múltiplos adecuados su y tv de los vectores directores tales que ó Si esta ecuación se escribe en forma de componentes, se obtienen ecuaciones paramétricas para el plano.

Video Mario Gama una Base de un Plano