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Teorema de Rolle, de Lagrange y de Cauchy

Teorema de Rolle

Si f es una función es continua en el intervalo [a,b] y es derivable en el intervalo abierto (a,b).

Sí f(a) = f(b), entonces f’(c) = 0 para al menos un c entre (a,b)

Ejercicios

Comprobar el Teorema de Rolle para las siguientes funciones, en los intervalos dados:
  • f(x) = x2 - 4x + 5 en [ 1, 3]
  • f(x) = x2 - 3x + 2 en [ 1, 2]
  • f(x) = x4 - 2x2 en [-2, 2]

Teorema de Lagrange o del valor medio

Si f es una función es continua en el intervalo [a,b] y es derivable en el intervalo abierto (a,b). Sí f(a) f(b). Entonces, existe un número c en (a,b) tal que:

Ejercicios

Comprobar el Teorema de Lagrange o del valor medio para las siguientes funciones, en los intervalos dados:
  • f(x) = 5 - (4 / x) en [ 1, 4]
  • f(x) = (x + 1) / x en [ -1, 2]
  • f(x) = (2- x)(1/2) en [ -7 , 2]

Teorema de Cauchy

Si f y g son funciones continuas en el intervalo [a,b] y son derivables en el intervalo abierto (a,b).

Y, sí: g(a)  g(b) y g'(x) 0 para , Entonces, existe un tal que:

Ejercicios

Comprobar el Teorema de Cauchy para las funciones dadas, en los intervalos dados:
  • f(x) = x2 − 2x + 3 y g(x) = x3 − 7x2 + 20x − 5 en [1, 4]
  • f(x) = sen x y g(x) = cos x en [0, π/2]
  • f(x) = 3x4 − 2x3 − x2 + 1 y g(x)=4x3 − 3x2 − 2x en [0, 1]
  • f(x) = x3 + 1 y g(x) = x2 + 3 en [0, 2]