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Forma generica e caratteristiche della parabola

Il modo più intuitivo per presentare la parabola, ad esempio per introdurre il metodo della parabola per risolvere le disequazioni di secondo grado, è dire che essa è la rappresentazione sul piano cartesiano di una espressione di secondo grado , dove , e sono tre numeri stabiliti di volta in volta. Studiando il metodo della parabola abbiamo dato per buono (cioè vi siete fidati del prof) che:
  • tutte le espressioni di questo tipo siano rappresentate da una curva di tipo parabolico.
  • il segno del coefficiente stabilisca se la parabola è rivolta verso l'alto o verso il basso
È giunto il momento di verificare se questo è vero! Lo faremo articolando il percorso in tre momenti:
  1. Iniziamo rappresentando sul piano l'espressione di secondo grado più semplice possibile: vedremo che il suo grafico è una parabola e ne osserveremo le caratteristiche;
  2. il secondo passaggio sarà di complicare un po' questa espressione moltiplicando la per un coefficiente ; vedremo come alcune caratteristiche cambiano, mentre le altre rimangono identiche;
  3. infine dimostreremo che qualsiasi espressione di secondo grado può essere ricondotta a questi casi più semplici, e quindi ha come grafico una parabola.
FACCIAMO IL PUNTO Abbiamo visto che se una grandezza cambia seguendo l'espressione , il grafico che descrive questo cambiamento ha alcune caratteristiche molto importanti:
  1. se è positivo la funzione è [quasi] sempre positiva (è rivolta verso l'alto) mentre se è negativo la parabola è rivolta verso il basso (risultati [quasi] sempre negativi);
  2. ha un asse di simmetria, che in questo caso è la retta : la metà del grafico a destra dell'asse "si specchia" in quella a sinistra. Questo perché una qualsiasi e la corrispondente danno sempre lo stesso risultato. Impareremo che funzioni che hanno questa proprietà si dicono PARI (puoi immaginare perché?);
  3. il punto della parabola che giace sull'asse di simmetria, detto vertice della parabola, è il punto dove si ottiene il risultato minimo (quando ) o massimo (in caso contrario). Negli esempi visti questo risultato è .
COME OTTENERE ALTRE PARABOLE: LE TRASLAZIONI
Nella seguente animazione torniamo alla parabola "di base" e vedremo come manipolando la sua espressione otterremo molte altre possibili parabola. Nell'ultima parte dell'animazione combineremo queste modifiche (che scopriremo essere delle traslazioni, cioè degli spostamenti rigidi) con quella vista nel paragrafo precedente: insieme ci permettono di ottenere qualsiasi parabola (perlomeno del tipo che stiamo studiando).
Abbiamo fatto un grande lavoro: abbiamo dimostrato che partendo dalla parabola possiamo, con opportune manipolazioni, ottenere qualsiasi parabola, che in genere ha l'espressione che ci aspettiamo, cioè . Abbiamo inoltre conosciuto una forma che a volte è particolarmente comoda, Che in Inglese è detta Vertex Form perché mette in evidenza le coordinate del vertice della parabola: se riguardi l'animazione noterai che una parabola traslata di forma ha il suo vertice che viene traslato proprio nel punto . Per completare la nostra conoscenza sulle parabole ci manca un ultimo passo, quello inverso: sappiamo che una espressione di tipo Vertex Form rappresenta una parabola (la parabola base che è stata traslata ed eventualmente "stirata" o "appiattita"), e sappiamo svolgendo i conti tutte le Vertex Form diventano del tipo Ma possiamo essere sicuri del contrario, cioè che una qualsiasi espressione è davvero una Vertex Form e quindi è una parabola trasformata in qualche modo? Non potrebbero esserci delle espressioni di secondo grado che NON corrispondono ad una Vertex Form e quindi NON sono una parabola, ma qualcos'altro? Lo vediamo nel prossimo paragrafo, applicando una tecnica che forse hai già incontrato. LA PARABOLA GENERICA: TRASLAZIONI E COMPLETAMENTO DEL QUADRATO Vogliamo ora studiare la parabola generica , mostrando come può essere sempre considerata una variazione dei casi appena visti. In particolare la manipoleremo in modo da ricondurla alla Vertex Form del tipo . Partiamo da un esempio numerico, come . Volendo arrivare alla Vertex Form cerchiamo di racchiudere le in un quadrato di binomio, applicando il metodo di completamento del quadrato, lo stesso su cui si basa la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado. Procediamo così: portiamo il termine noto a primo membro, perché vogliamo concentrarci sui termini con le : Raccogliamo il per evidenziare che è un quadrato: A questo punto completiamo l'espressione in rosso in modo che risulti un quadrato di binomio in cui è il primo monomio. In questo caso, numericamente semplice, puoi intuire che il secondo quadrato è . Se ne hai bisogno puoi vedere il ragionamento nel dettaglio qui sotto. Se vogliamo che l'espressione rossa sia un quadrato di binomio, ad esempio , abbiamo che:
  • se deve essere il doppio prodotto, cioè , da cui semplificando la otteniamo ; da qui possiamo ricavare il secondo monomio invertendo: ,
  • aggiungiamo quindi il quadrato del secondo monomio, .
Aggiungiamo quindi nella parentesi il termine appena trovato, necessario per completare il quadrato, non dimenticando di aggiungere la stessa quantità al primo membro per equilibrare: Da notare che poiché abbiamo aggiunto un dentro una parentesi che era moltiplicata per , in realtà abbiamo sommato e dobbiamo equilibrare con la stessa quantità a primo membro. Riconosciamo finalmente il quadrato di binomio e terminiamo i conti, ottenendo per la nostra parabola una forma molto simile a quella cercata. Ed ecco che abbiamo trovato la nostra Vertex Form, che può essere riscritta anche come Come sappiamo questa forma mette in evidenza la TRASLAZIONE che è stata applicata alla parabola, descritta dalle sostituzioni cioè: se esprimiamo la usando le nuove lettere introdotte otteniamo cioè siamo arrivati alla forma , che rappresenta una parabola con le caratteristiche che già conosciamo. CONCLUDENDO, con il metodo di completamento del quadrato abbiamo trasformato l'equazione iniziale nella sua Vertex Form e quindi ora sappiamo che si tratta di una parabola "felice" e leggermente schiacciata () traslata con il vertice in . Il metodo di completamento del quadrato si può applicare a qualsiasi espressione di secondo grado (infatti l'abbiamo usata per ricavare la formula che risolve TUTTE le equazioni di secondo grado), quindi TUTTE le espressioni di secondo grado possono essere viste come una parabola trasformata. ANCORA SULLE TRASLAZIONI Rivediamo la questione delle traslazioni nell'animazione qui sotto; ma per uno studio/ripasso più completo puoi andare a questa pagina.
Ne concludiamo che la parabola che stiamo studiando avrà le seguenti caratteristiche:
  • è rivolta verso l'alto perchè il coefficiente di è positivo e la traslazione non cambia questa caratteristica. Da notare che era il coefficiente di nella parabola originaria , ed il metodo di completamento del quadrato non modifica mai il coefficiente ; ne consegue che il segno di questo coefficiente indica l'orientamento di qualsiasi parabola.
  • l'asse di simmetria c'è ancora, ma si è spostato nella retta , in conseguenza della traslazione. La funzione è ancora simmetrica (ma in generale non è più pari, perché questo vale solo nel caso specifico in cui e danno lo stesso risultato, cioè se l'asse di simmetria è proprio l'asse ).
  • sempre in conseguenza della traslazione anche il vertice si è spostato, in questo caso è il punto ; continua ad essere il punto di minimo (o di massimo), dato che la traslazione non modifica la forma della curva.
Il metodo del completamento del quadrato si può applicare a QUALSIASI trinomio di secondo grado, dato che una volta raccolto il coefficiente è sempre possibile trovare il secondo monomio in modo che tornino i conti con il doppio prodotto che si è ottenuto. Ne deriva che qualsiasi espressione di trinomio di secondo grado può essere visto come una parabola traslata, e che le relative caratteristiche sono mantenute identiche (orientamento verso l'alto o verso il basso) o modificate di conseguenza (posizione del vertice e dell'asse di simmetria). Applicare il completamento del quadrato può essere un metodo (anche se ve ne sono altri) per ricavare queste caratteristiche. Data un'espressione di secondo grado qualsiasi, possiamo quindi applicare il metodo del completamento del quadrato e portarla nella forma di base, trovando contemporaneamente le coordinate del suo vertice e del suo asse di simmetria. Useremo anche altre tecniche per determinare le caratteristiche di una parabola, ma questa ci ha permesso di verificare che tutte le espressioni di secondo grado hanno come grafico una parabola. NOTA: Il metodo del completamento del quadrato NON sarà la tecnica fondamentale che utilizzeremo per studiare la parabola, perché si tratta di una conica piuttosto semplice che può essere analizzata in modo più semplice (lo vedremo al paragrafo successivo). Questo metodo sarà però essenziale per capire a fondo altre coniche, e quindi è utile fare un po' pratica con esso applicandolo a casi ancora abbastanza semplici e che possono essere verificati in altro modo.

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