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La retta di Eulero

In un triangolo ortocentro O, baricentro G e circocentro E sono allineati, con ortocentro e circocentro da parti opposte rispetto al baricentro e tali che OG=2EG.
IpotesiTesi
  • ABC è triangolo;
  • O è l'ortocentro di ABC;
  • G è il baricentro di ABC;
  • E è il circocentro di ABC.
  • O, G, E sono allineati
  • OG=2EG.
Costruzione Disegnare un triangolo ABC e il suo baricentro G; il suo triangolo mediano MNP e l'ortocentro di quest'ultimo OM; l'ortocentro O e il circocentro E di ABC.
Dimostrazione
  1. Poichè il circocentro E di un triangolo coincide con l'ortocentro del suo triangolo mediano allora OM e E coincidono.
  2. Poichè il baricentro di un triangolo coincide con quello del suo mediano, allora GMcoincide con G, dove GM è il baricentro di MNP.
  3. Poichè il triangolo mediano risulta ruotato di 180° intorno a G rispetto al principale allora la retta GE (ossia GMOM) è la retta GO ruotata di 180° intorno a G, e quindi O, G, E sono allineati.
  4. Poichè ogni triangolo è simile al suo mediano con rapporto di similitudine 2:1, allora: OG=2OMGM=2EG .
c.v.d.