２．因数分解
１.因数分解とは何か？
このページは電子ブック「探求 数学Ⅰ」の一部です。
＜因数分解は展開の逆＞
[展開(expand)]は、多項式×多項式を計算して１つの多項式に整理することでした。
（例）
[因数分解(factorization)]は、展開の逆で多項式を多項式×多項式（因数×因数）の形に分解すること。
（例）
因数分解は、整数の素因分解と同様に、もとの数の範囲で分解できるところまでやります。
（例）
2.因数分解の公式
＜２項式の積＞
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平方数2個と2文字の積の2倍は、和の平方。
（例）「x2+8x+16の因数分解」は？
8=2･4、42=16からb＝+4。(x+4)2
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２乗の差は和差積
（例）「4x2-81y2の因数分解」は？
４も81も平方数なので2乗形にしておく。4x2-81y2=(2x)2-(9y)2=(2x+9y)(2x-9y)
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係数が1⇒和⇒積 となる２つの１次式の定数項 a,bをさがす。和が負ならa,bの片方か両方が負。
（例）「x2-5x-24の因数分解」は？
和が負、積が負だから、積を負が強い正と負の約数に分解する。24=3・8, 8-3=5から、８を負にする。
(x-8)(x+3)
・
係数を、ac⇒たすきがけ⇒bd としてacの約数ペアを先にいれておき、bdの約数ペアでたすきがけ検証。
（例）「6x2+13x+5の因数分解」は？
和が正、積が正だから、ともに正で、5=1･5と決定。6=1･6か2･3だが、6+5=11,6･5+1=31から2･3と決定。
(2x )(3x )とかいておく。たすきがけ13=3+2･5から2と5は別のカッコに入れる。(2x+1)(3x+5)
★因数分解ゲームをしよう！（正数のみ）
★因数分解ゲームをしよう！（負数あり）
★因数分解ゲームをしよう！（たすきがけ）
★ｘｙの式の因数分解をｘに着目してやってみよう！
３．因数分解の着眼点
＜因数分解公式の利用方法＞
・次数の低い1文字の式として整理する。
（例）「xyz+x2y+xy2+x+y+zの因数分解」は？
ｚの1次式。1次の係数は(xy+1)、定数項は(xy+1)(x+y)。
だから、(xy+1)(x+y+z)。
・共通部分をさがして、共通因数にするか文字で置き換える。次数下げのため置き換える。
（例）「x3-5x2-4x+20の因数分解」は？
x2(x-5)-22(x-5)=(x+2)(x-2)(x-5)
（例）「(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15の因数分解」は？
1+7=3+5=8に着目して、x2+8x=yとおく。
(y+7)(y+15)+15=y2+22y+120=(y+10)(y+12)
=(x2+8x+10)(x2+8x+12)=(x2+8x+10)(x+2)(x+6)
（例）「a6-b6の因数分解」は?
a3=A,b3=Bとおくと、A2-B2=(A+B)(A-B)=(a3-b3)(a3+b3)
=(a-b)(a2+ab+b2)(a+b)(a2-ab+b2)
・マイナスカッコでくくる。-A-B=-(A+B), -A+B=-(A-B)のように２項をくくり共通因数を作る。
（例）「a3-a-b3+bの因数分解」は？
a3-b3-(a-b)=(a-b)(a2+ab+b2)-(a-b)=(a-b)(a2+ab+b2-1)
・複2次式（2乗の2次式）の定数が平方数なら、平方完成で2乗をつくる。
（例）「x4-2x2+1の因数分解」は？
x4-2x2+1=（x2-1)2=（x+1)2(x-1)2
・文字数がa,b,cのように３文字あっても、対等な式なら、対称式やサイクリックな因数に分解できる
可能性が高い。1文字整理と共通因数さがしが役立つ。
（例）「(a+b+c)(ab+bc+ca)-abcの因数分解」は？
aだけを文字とみて整理する。
（例）「a3+b3+c3-3abcの因数分解」は？
aだけを文字とみて整理する。A3+B3=(A+B)3-3AB(A+B)を使う。