Concurența medianelor demonstrată vectorial
Teoremă
Medianele unui triunghi sunt concurente.
Demonstrație
Considerăm triunghiul ABC și notăm cu M mijlocul segmentului [BC].
Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC.
Din definiția centrului de greutate avem: (1).
În triunghiul GBC, este vectorul mediană, deci (2).
Înlocuim în (1) pe cu (din relația (2)) și obținem
, adică .
Rezultă că vectorii și sunt coliniari, deci punctele A, G, M sunt coliniare.
Am demonstrat că G se află pe mediana AM.
Analog, demonstrează că
Folosește aplicația geogebra de mai sus pentru a reprezenta vectorii și .
Am demonstrat că G se află pe fiecare din medianele triunghiului ABC și pentru că într-un triunghi medianele nu pot fi pe aceeași dreaptă rezultă că au punctul G comun.
Astfel, am demonstrat că medianele triunghiului ABC sunt concurente în punctul G.