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Composizione di omotetie

Un caso semplice

La composizione di due omotetie di centro e rapporto diverso non è, in generale, un'omotetia. Se però ci restringiamo solamente alle omotetie con stesso centro fissato C, vale il seguente: Teorema 1: date due omotetie di centro C e rapporti rispettivamente e , la loro composizione è un'omotetia di centro C e rapporto . Utilizziamo una costruzione per capire meglio cosa succede:
Dimostriamo ora il Teorema 1: per far ciò basta comporre le due omotetie, ovvero si applica l'omotetia con rapporto al punto e poi quella con rapporto al punto , trasformato di . Se si sceglie di utilizzare le equazioni dell'omotetia, procedendo per via algebrica, si ha:

Sostituendo nel secondo sistema le equazioni date dal primo si ottiene:

Che con un po' di calcoli diventa:

Abbiamo ottenuto esattamente il sistema di equazioni dell'omotetia di centro C e rapporto . Osserva: si arriva allo stesso risultato anche utilizzando le equazioni in forma matriciale. Infatti:



Combinando le due equazioni matriciali si ottiene:



Che con un po' di calcoli diventa:



Caso generale

Vale il seguente: Teorema 2: date due omotetie di centri diversi e e rapporti e , la loro composizione è
  • una traslazione se il prodotto tra e è uguale a 1;
  • un'omotetia di rapporto (e centro che sta sulla retta passante per e ) altrimenti
Non lo dimostreremo, ma visualizziamolo con una costruzione:
Per approfondire ecco una pagina utile.

Ora tocca a te!

In questo capitolo si è visto come comporre tra loro le omotetie: è possibile allo stesso modo comporre un'omotetia e un'isometria. Le trasformazioni che derivano dalla composizione di più trasformazioni di questo tipo sono dette similitudini. Nella costruzione sottostante puoi applicare tutte le omotetie e le isometrie che preferisci ad un triangolo: esplora la casistica e scopri quali figure è possibile ottenere tramite una similitudine.