Composizione di omotetie
Un caso semplice
La composizione di due omotetie di centro e rapporto diverso non è, in generale, un'omotetia.
Se però ci restringiamo solamente alle omotetie con stesso centro fissato C, vale il seguente:
Teorema 1: date due omotetie di centro C e rapporti rispettivamente e , la loro composizione è un'omotetia di centro C e rapporto .
Utilizziamo una costruzione per capire meglio cosa succede:
Dimostriamo ora il Teorema 1: per far ciò basta comporre le due omotetie, ovvero si applica l'omotetia con rapporto al punto e poi quella con rapporto al punto , trasformato di .
Se si sceglie di utilizzare le equazioni dell'omotetia, procedendo per via algebrica, si ha:
Sostituendo nel secondo sistema le equazioni date dal primo si ottiene:
Che con un po' di calcoli diventa:
Abbiamo ottenuto esattamente il sistema di equazioni dell'omotetia di centro C e rapporto .
Osserva: si arriva allo stesso risultato anche utilizzando le equazioni in forma matriciale. Infatti:
Combinando le due equazioni matriciali si ottiene:
Che con un po' di calcoli diventa:
Caso generale
Vale il seguente:
Teorema 2: date due omotetie di centri diversi e e rapporti e , la loro composizione è
- una traslazione se il prodotto tra e è uguale a 1;
- un'omotetia di rapporto (e centro che sta sulla retta passante per e ) altrimenti
Per approfondire ecco una pagina utile.
Ora tocca a te!
In questo capitolo si è visto come comporre tra loro le omotetie: è possibile allo stesso modo comporre un'omotetia e un'isometria. Le trasformazioni che derivano dalla composizione di più trasformazioni di questo tipo sono dette similitudini.
Nella costruzione sottostante puoi applicare tutte le omotetie e le isometrie che preferisci ad un triangolo: esplora la casistica e scopri quali figure è possibile ottenere tramite una similitudine.