Superficies de revolución
Larson 11.6: Superficies en el espacio
Para este tipo de superficies necesitaremos una curva o directriz en un plano (x-z, y-z o x-y).
Luego, dicha curva o directriz girará en torno a uno de los ejes del que está compuesto. Por lo que se verán circunferencias en torno al eje de rotación. Por ejemplo, a continuación verás curvas en diversos ejes de coordenadas.
Superficies de revolución
En la aplicación de abajo, tienes la función de la curva o directriz:
Como te puedes dar cuenta, se relacionan las variables y y z. Por lo tanto, el plano sobre el que se dibuja la curva es el y-z.
Dicha curva la puedes hacer girar o animar en torno al eje z o al eje y. Al girar en torno al eje z+, los puntos de la función forman circunferencias de radio r.
Nota: Estas circunferencias son paralelas al plano x-y. Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia será . Dicho radio r no es el mismo para cada valor de z; es más, depende de la altura en z. Por lo tanto, dicho radio se asocia con la función inicial.
Nota: La ecuación final de la superficie de revolución debe quedar en término de las tres variables.
Ejemplo 1
Teniendo la ecuación:
Que gira en torno al eje x.
Solución
Entonces, se verán circunferencias (vista frontal) en el plano yz:
R//
Nota: Recuerda que la función debe quedar en término de las tres variables. Al graficar la solución en GeoGebra, colocamos z en términos de x y y:
Ejemplo 2
Teniendo la ecuación:
Que gira en torno al eje z+.
Solución
Que gire en torno al eje z+, significa que se verán circunferencias (desde arriba) en el plano x-y, con la siguiente ecuación de la circunferencia.
El tamaño de las circunferencias es proporcional al valor de z. Por lo tanto, el radio de la circunferencia está relacionada al valor actual de z.
R//
Para graficar la solución en GeoGebra, colocamos z en términos de x y y: En resumen
Ecuación de la superficie de revolución
1. Sí la función está en el plano xz o el plano xy; y gira en torno del eje x.
La ecuación de la superficie de revolución será .
2. Sí la función está en el plano xy o en el plano yz; y gira en torno del eje y.
La ecuación de la superficie de revolución será .
3. Sí la función está en el plano xz o el plano yz; y gira en torno del eje z.
La ecuación de la superficie de revolución será
Ejercicio
Encontrar la ecuación de la superficie de revolución generada al girar la curva en el plano coordinado indicado, sobre el eje dado.
z2= 4y; Plano yz; Eje de revolución y
z = 3y; Plano yz; Eje de revolución y
; Plano xz; Eje de revolución x
xy = 2; Plano xy; Eje de revolución x
z = 4x - x2; Plano xz; Eje de revolución z
z = ln y; Plano yz; Eje de revolución z (Abajo la solución graficada)
Pregunta
Te ayudo con la última ecuación: z = ln(y), que rota en torno a z. Selecciona la opción que contenga la ecuación de las circunferencias que se formarán.