Änderungen exakt bestimmen - lokale Änderungsrate
Was bisher geschah:
Mithilfe des Differenzenquotienten hast du bisher die durchschnittliche Änderungsrate einer ganzrationalen Funktion bestimmt. Dies hatte den Vorteil, dass du nur den Wert eines Bruchs ausrechnen musstest. Der Nachteil war jedoch, dass der Wert nur eine Näherung für die tatsächliche Steigung war. Das weißt du bereits.
Zur Wiederholung: Je kleiner die berechneten Steigungsdreiecke sind, desto genauer näher der Differenzenquotient auch die tatsächliche Steigung - jedoch nie exakt!
Exakt wird die Lösung dann, wenn du keine Sekante zwischen zwei Punkten anlegst, sondern graphisch mithilfe eines Programms oder Geodreiecks eine Tangente anlegst - eine Gerade, die sich lokal an den Graphen anschmiegt und ihn nur in einem Punkt berührt!
Daher kommt die Vorstellung, dass die Steigung in einem Punkt, also die lokale Steigung, die Steigung der Tangenten ist, die durch diesen Punkt verläuft.
Im Folgenden Applet kannst du lokale Geschwindigkeiten annähern, indem du das Steigungsdreieck möglichst klein werden lässt. Lokale Geschwindigkeiten sind lokale Änderungsraten.
4. Nach exakt einer Stunde Fahrzeit, wird Peter geblitzt. Wie bereits erwähnt, ist in den Niederlanden eine maximale Geschwindigkeit von erlaubt. Wie schnell ist er zu dem Zeitpunkt als er geblitzt wurde gefahren? Bestimme die lokale Geschwindigkeit nach einer Stunde Fahrt.
Hinweis: Den Punkt Q kannst du mit dem Schieberegler verschieben, den Punkt P kannst du mit der Maus (gedrückt halten) verschieben.