Tres razonamientos, una ecuación

Tema:Álgebra, Ecuaciones, Ecuaciones Cuadráticas

Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Ecuaciones y Sistemas. Al resolver un problema con métodos algebraicos, la ecuación que aparece sintetiza la condición que debe cumplir la incógnita, independientemente de las observaciones o razonamientos que hayamos realizado para obtener esa condición. En esta aplicación puedes ver un ejemplo de un problema observado desde tres puntos de vista diferentes. Sin embargo, la ecuación resultante será siempre la misma, pues condensa la condición que debe cumplir la incógnita. El enunciado del problema es el siguiente:

El rectángulo azul de la figura mide 80 m de largo y 32 m de ancho. ¿Qué dimensiones tiene el rectángulo rojo?

Observa que la clave para resolver el problema está en hallar el valor de x. Una vez conocido x, es fácil determinar las longitudes de los lados del rectángulo rojo. Primero, intenta resolver el problema a tu manera. Después, sigue las instrucciones de más abajo para resolverlo de tres modos distintos (pero con la misma ecuación).

1. Activa la casilla Punto de vista 1. El triángulo amarillo es rectángulo, por lo que debe cumplir el teorema de Pitágoras. Los catetos de este triángulo son a su vez las hipotenusas de los triángulos rectángulos verdes. De todo ello, se deduce (¿por qué?) la siguiente ecuación:

x²+ 32² + (80 − x)²+ 32²= 80²

que equivale a:

x²− 80 x + 1024 = 0

2. Activa la casilla Punto de vista 2. Los ángulos verdes han de tener el mismo valor (¿por qué?), así que los triángulos rectángulos verdes son semejantes y sus lados proporcionales:

Comprueba que esta ecuación equivale a la ecuación del apartado 1.

3. Activa la casilla Punto de vista 3. El vértice superior del rectángulo rojo está en la semicircunferencia naranja, de radio 40, centrada en el punto medio de la base del rectángulo azul (¿por qué?). Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo verde:

(40 - x)²+ 32² = 40²

Comprueba que esta ecuación equivale de nuevo a la ecuación del apartado 1.

4. Comprueba que las soluciones de esa ecuación son 16 m y 64 m. Activa la casilla Solución simétrica para ver el rectángulo rojo correspondiente a la segunda solución.

5. Activa la casilla Generalización. Comprueba que la ecuación correspondiente a dimensiones cualesquiera a y b del rectángulo azul, es:

x²− a x + b² = 0

¿Cuándo no tiene solución esta ecuación? ¿Cuando tiene solución única? Mueve el punto rojo para comprobarlo.

6. Sabiendo ahora que x vale 16 m, resuelve finalmente el problema: comprueba que los lados del rectángulo rojo miden

Tres razonamientos, una ecuación

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