Mehrfache Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Das Schaubild der Funktion f besitzt eine einfache Nullstelle x_1 und eine Nullstelle x_2 der Vielfachheit k. Die Vielfachheit kann über den Schieberegler k verändert werden. Die Lage der Nullstellen, sowie der Streckfaktor können ebenfalls über die andere Schieberegler verändert werden. Über das Kontrollkästchen kann das Schaubild einer zweite Funktion g angezeigt werden. Das Schaubild von g besitzt wie das Schaubild von f den selben Streckfaktor und dieselbe Nullstelle x_2 der Vielfachheit k. Sie unterscheiden sich lediglich in der einfachen Nullstelle x_1, die das Schaubild von g nicht besitzt. Die Funktionen f und l haben die zwei Nullstellen x_1 und x_2 gemeinsam, wobei die Nullstelle x_2 von l die Vielfachheit k - 1 besitzt. Die letzte Nullstelle x_3 des Schaubildes von l besitzt den Abstand h von der Nullstelle x_2. Über den Schieberegler h können Sie den Abstand zwischen x_2 und x_3 verringern: Die Nullstelle x_3 wandert damit auf die Nullstelle x_2 zu.
Aufgaben:
  1. Beschreiben Sie den Verlauf des Schaubildes von f in der Nähe der Nullstelle mit der Vielfachheit k für unterschiedliche k. Verwenden Sie dabei Formulierungen wie „schneidet die x-Achse wie eine Gerade“, „berührt die x-Achse wie eine Parabel zweiten Grades“ oder „schneidet die x- Achse wie eine Parabel dritten Grades“.
  2. Überprüfen Sie Ihre Formulierungen, indem Sie das Schaubild der Funktion g einblenden.
  3. Verändern Sie den Streckfaktor und die Lage der Nullstellen.
  4. Leiten Sie mit den gewonnenen Erkenntnissen einen Zusammenhang zwischen dem Verlauf des Funktionsgrafen und der Funktionsgleichung in faktorisierter Form her.
  5. Schalten Sie das Schaubild der Funktion g aus und das Schaubild der Funktion l ein. Lassen Sie über den Schieberegler h die Nullstelle x_3 auf die Nullstelle x_2 zuwandern. Beschreiben Sie, was mit dem zwischen den Nullstellen x_2 und x_3 verlaufenden Teil des Graphen passiert.