Fórmula de Euler para el área del triángulo pedal
El triángulo pedal de un punto P cualquiera del plano respecto de un △ABC tiene sus vértices en las proyecciones ortogonales D, E y F de P sobre las rectas que contienen a los lados a, b y c de △ABC. Es decir, el △DEF de la figura.
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Se calcula el área del triángulo pedal como la mitad del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo comprendido.
En el tercer paso, se utiliza la ampliación del teorema del seno , que relaciona el cociente entre los lados y los senos de los ángulos opuestos con el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo, en los △EDC y △FBD.
Cada uno de los lados del triángulo pedal resulta igual al producto de la distancia de P al vértice correspondiente por el seno del ángulo en este:
EF = AP sen A, FD = BP sen B, DE = CP sen C
En el siguiente paso, se prolonga el segmento BP hasta el punto K en que vuelve a interceptar a la circunferencia Ω, circunscrita a △ABC.
A continuación, se aplica el teorema del seno al △KPC.
Sustituyendo los valores hallados en la fórmula del área de △DEF y dividiendo por el área de △ABC, en la que se ha vuelto a plicar la ampliación del teorema del seno, se llega a que el cociente de áreas es BP·PK/(4R²). Pero el numerador de esta fracción no es otra cosa que menos la potencia del punto P respecto de la circunferencia Ω. Si P es exterior a Ω, △ABC y △DEF tienen orientaciones contrarias, lo que se traduce en que el cociente de áreas aparece negativo.
Como se ve, para un triángulo determinado △ABC, el área del triángulo pedal △DEF solo depende de la distancia d del punto P al circuncentro O de △ABC. Esto tiene dos importantes corolarios:
★ Para puntos P interiores al △ABC, el área del triángulo pedal es máxima cuando d = 0 ⇒ P = O, y en es caso △DEF = ¼△ABC. El triángulo pedal es entonces el triángulo medial de △ABC, cuyos vértices son los puntos medios de los lados.
★ Para puntos P situados en Ω, d = R y el área del triángulo pedal es 0, lo que quiere decir que los puntos D, E y F están alineados. La recta que los contiene es conocida como recta de Simson-Wallace, aunque parece que es más debida a Wallace (1768-1843) que a Simson (1867-1768), ambos matemáticos escoceses.
Referencias: R. A. Johnson, Advanced Euclidean Geometry, Dover, 1960, pp. 135–141