Volumen del cono circunscrito a una esfera
Enunciado del problema
Determinar las dimensiones de un cono circunscrito a una esfera de radio conocido, de manera que su volumen sea mínimo.
Investigación previa.
En la aplicación que sigue después, verás un cono circunscrito a una esfera. El cono puede moverse con el ratón o el dedo, para verlo desde otros puntos de vista o dejarlo en rotación constante. En el panel de la derecha hay dos controles que te permiten modificar el radio de la esfera y la altura del cono. Mediante la manipulación de estos controles podrás ver como cambia el volumen del cono. El objetivo de la investigación es encontrar, de manera experimental, una relación entre la altura del cono y el radio del esfera, para el cono circunscrito a la esfera con volumen mínimo. Para ello se proponen los siguientes pasos:
- Empieza seleccionando un valor concreto del radio de la esfera (el que tú quieras).
- Observa y anota el volumen del cono que se muestra en pantalla.
- Sin cambiar el radio de la esfera, ve modificando la altura del cono y anotando los respectivos valores del volumen, hasta que encuentres con qué altura el volumen es mínimo.
- Una vez localizado, analiza la relación entre la altura de ese cono y el radio de la esfera.
- Modifica ahora el radio de la esfera y repite los pasos 2, 3 y 4 y comprueba si se mantiene la misma relación.
- Repite el paso anterior con radios diferentes de la esfera hasta que quedes convencido.
Demostración.
Si a partir de la investigación anterior has encontrado una relación entre la altura del cono y el radio de la esfera, eso no quiere decir que sea cierta siempre. De momento es una conjetura.
En Matemáticas las conjeturas deben demostrarse, es decir, hay que probar que son ciertas en cualquier situación que cumpla las condiciones iniciales del problema.
Intenta, pues, demostrar esa relación ayudándote con las igualdades que se muestran en la aplicación.
Si lo consigues, intenta también calcular el radio del cono en función del radio de la esfera.
Sugerencia:
Localiza los triángulos rectángulos que se muestran en la imagen. El teorema de Pitágoras puede ayudar.
Comprobación
Si no consigues dar con la demostración, en el siguiente archivo encontrarás una.
