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メルカトル図法(角度を同じにするための補正)

N’M’KEの角度が球面と同じになる様に補正するには?

□MNKEを球面上の□PLJFと相似にするにはどれだけ縮めればいいか

やりたいこと そのまま□MNKEに映すと、球面上の角度と異なってしまう。 球面上の角度と同じにするためにはどういう補正をすればいいか? ⇒□PLJF∽□M’N’KEとなる様に、MKの長さを縮小したM’Kの長さを決める。 (ここで球の半径を1とする。また、⊿λや⊿φは見やすくするために大きくとってあるが微小。) ここで弧EK=弧DG=⊿λだから、M’K=⊿yとして微分方程式を求める。 まず、弧FJを求める。 OJ=cos(φ)なので、弧FJ=cos(φ)⊿λ 弧JL=⊿φ 二つの四角形の縦横の比は、弧EK:M’K=弧FJ:弧JL 弧FJ:弧JL=cos(φ)⊿λ:⊿φ=弧EK:M’K=⊿λ:⊿y ∴ ⊿y=⊿φ/cos(φ) つまり微分方程式 ⊿y/⊿φ=1/cos(φ) を解けばいい。 積分すると、y==   →不定積分のしかた メルカトル図法の導出 を参照 解は、y=となる。(αは緯度)