Retta perpendicolare ad una data retta e passante per un punto
Dati tre punti , e , costruire con l'uso del solo compasso la retta perpendicolare alla retta e passante per il punto .
Dobbiamo distinguere due casi:
1. non si trova sulla retta ;
2. si trova sulla retta .
Di seguito abbiamo la relativa costruzione nel caso in cui non si trova sulla retta , che corrisponde anche alla costruzione del punto simmetrico di rispetto alla retta .
Di seguito abbiamo la relativa costruzione nel caso in cui si trova sulla retta .
L'idea è quella di ricavare il punto , costruendo il doppio del segmento , e costruire l'asse del segmento .
Dimostrazione caso 1: consideriamo i segmenti in figura e sia il punto di intersezione tra e .
Basta mostrare che è il punto medio del segmento e gli angoli e sono uguali. Di conseguenza, è la bisettrice perpendicolare di .
Dimostrazione caso 2: poiché , segue che è il punto medio del segmento . Poiché l'asse di un segmento è perpendicolare ad esso e passa per il suo punto medio, segue la tesi.