Centro di una circonferenza passante per tre punti
Dati tre punti , e , costruire con l'uso del solo compasso il centro della circonferenza passante per , e .
Dobbiamo distinguere due casi:
1. ;
2.
Di seguito abbiamo la relativa costruzione nel caso in cui .
L'idea è quella di costruire il punto simmetrico di rispetto alla retta e costruire il suo punto inverso rispetto alla circonferenza di centro e passante per .
Di seguito abbiamo la relativa costruzione nel caso in cui .
L'idea è quella di ricavare un altro punto sulla circonferenza passante per , e che si trovi sulla circonferenza di centro e passante per , in modo da ricondurci al caso precedente.
Dimostrazione caso 1: consideriamo i segmenti in figura.
Basta mostrare in ordine che:
1. Il triangolo è isoscele;
2. I triangoli e sono simili;
In questo modo, segue che è isoscele e i segmenti ed sono uguali. Ragionando in modo analogo, si ottiene che i segmenti ed sono uguali. Per la definizione di circonferenza, si ottiene la tesi.
Dimostrazione caso 2: segue dalle proprietà di inversione.