Beweis, dass der 2. Strahlensatz nicht umkehrbar ist.
Voraussetzung
Wenn gilt,
Behauptung
dann gilt, dass die Geraden und parallel sind.
Beweis
Angenommen, die Umkehrung würde gelten. So könnten wir folgende Skizze zeichnen.
Abbildung 1: Skizze zur Umkehrung des zweiten Strahlensatzes.
Wir zeichnen nun um einen Kreis mit dem Radius.
Abbildung 2: Kreis um B'
Durch Ziehen des Kreises um den Punkt mit dem oben genannten Radius entsteht auf dem Strahl, auf dem die Punkte und liegen, ein weiterer Punkt. Wir nennen diesen .
Abbildung 3: Gleich lange Strecken
Wir zeichnen nun durch die Punkte und eine Gerade . Nach Konstruktion sind die Strecken und gleich lang. Es gilt also .
Wir können nun also die Voraussetzung anwenden.
Demnach gilt:
Da gilt, können wir für in die Gleichung einsetzen
Daraus würde folgen, dass die Geraden und parallel sind. Das sind sie aber offensichtlich nicht (siehe Abbildung 3). Wir haben demnach ein Gegenbeispiel gefunden. Folglich ist der 2. Strahlensatz nicht umkehrbar.