Torus-Loxodrome und andere - 1 -
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books "Loxodrome" ? Oder nicht ? (16/18.12.2019)
In wikipedia werden neben den Kugel-Loxodromen ("Winkelgleiche") auch andere Kurven dieses Typs erwähnt: "Allgemeiner gibt es zu jedem Rotationskörper Loxodromen als Kurven konstanten Kurses." Loxodromen findet man also auch auf Zylindern, Kegeln und eben auch auf einem Torus ! Walter Wunderlich hat 1952 in dem Artikel "Über die Torusloxodromen" für diese Kurven Parameterdarstellungen angegeben, die wir oben im Applet verwenden. (Monatsh. Math. 56 (1952) 313-334) W. Wunderlich bezieht sich u.a. auf einen Artikel von Georg Holzmüller aus dem Jahr 1899: "Elementares über die Dupin'schen Cykliden und die Grundlagen der Krümmungstheorie" (Zeitschrift d. Mathematik u. Physik 44.4 Heft 1899). Dort findet man übrigens ein schönes und genaues Bild über ein 6-Eck-Netz von Villarceau-schen Kreisen auf einem Torus - erstellt ganz ohne Computer und moderner Software!| Parameterdarstellung eines Torus: ; | R > r: Ringtorus R = r: Horntorus R < r: Spindeltorus |
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Was sind "Loxodrome"? Für die Standard-Loxodrome auf der Kugel liegt ein orthogonales Netz von Kreisen vor: die Breitenkreise und die Meridianen (Längenkreise). Loxodrome sind diejenigen Kurven, welche die Meridianen, bzw. die Breitenkreise jeweils unter einem konstanten Winkel schneiden. Diese Definition läßt sich verallgemeinern: Liegt ein orthogonales Netz von Kurven vor, so kann man die Kurven, welche die Netz-Kurven unter konstantem Winkel schneiden, Loxodrome nennen.**********************************************************************************************************************************************
Das orthogonale Netz auf einem Torus besteht aus den Kreisen, welche bei der Rotation der Torus-Punkte um die Achse entstehen: wir haben sie im Applet Längskreise genannt, und die dazu orthogonalen Meridiankreise (Querkreise).| Ein Kandidat für die gesuchen Loxodromen könnten die Kurven mit der nebenstehenden Parameterdarstellung sein: | mit |
| Loxodromen des Ringtorus |  | |
| mit | | und |
| Loxodromen des Spindeltorus |  | |
| mit | | und |
| Loxodromen des Horntorus | | mit |
Bemerkungen:
- In dem Faktor steckt der Schnittwinkel der Loxodromen mit den Meridianen.
- G. Holzmüller erwähnt, dass es "bekanntlich" eine "einfache" konforme Abbildung eines Rechtecks auf den Torus gäbe.
Damit ist wohl gemeint, dass eine winkeltreue Abbildung eines Rechtecks auf den Torus existiert, für welche die achsenparallelen Srecken die Längs- und Querkreise, und die schrägen Parallel-Strecken die Loxodrome ergeben.
Diese Abbildung haben wir nicht gefunden, das im Falle der Ring-Tori angezeigte Gitter könnte ein Urbild für diese Abbildung sein! Wie Holzmüller angibt, muss nur der Winkel der Diagonalen stimmen!?! (Hierzu jedoch die Seite Torus mit wickeln.)
- W. Wunderlich verdeutlicht in einem Bild, dass die Projektion der Loxodromen vom Ursprung aus auf einen ko-achsialen Zylinder einfache Sinus-Linien ergibt.
Eine hübsche Aufgabe zur Veranschaulichung mit ge gebra-Hilfsmitteln! |  |
