Polynome und deren Ableitungen

Aus der Schule wissen wir, dass das Weg-Zeit-Gesetz () der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ein quadratischer Zusammenhang zwischen Zeit und Weg ist, sich also durch ein Polynom zweiten Grades beschreiben lässt. Sind Ort , Anfangsgeschwindigkeit und die Beschleunigung , also Funktionswert, erste und zweite Ableitung für bekannt, so kennt man die Bewegung vollständig für jede Zeit . Das ist anschaulich auch klar: Bei einem senkrechten Wurf bestimmen Abwurfhöhe und -geschwindigkeit, wann sich der Körper in welcher Höhe befindet. Die Beschleunigung ist durch die Gravitation der Erde gegeben. Nun kann man sich die Frage stellen, ob sich auch Polynome höheren Grades aus ihren Ableitungen an der Stelle null oder einer anderen Stelle vollständig bestimmen lassen. Mit der Antwort auf diese Frage werden wir uns hier beschäftigen und damit den Begriff der Taylor-Reihen vorbereiten.

Im Applet ist der maximal mögliche Grad des Polynoms 5. Schauen wir uns daher einmal allgemein seine Ableitungen an der Stelle an:

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Ganz rechts finden wir einen Zusammenhang zwischen den Koeffizienten und den Ableitungen: Die n-te Ableitung ist mit durch das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen ohne 0 verknüpft. Sie kennen vielleicht schon die Fakultät als Ausdruck für das Produkt der ersten n Zahlen. Man definiert (sprich: "n Fakultät"). Für die Fakultät gilt zudem . So können wir für Polynome n-ten Grades schlicht die Beziehung für alle schreiben. Jetzt steht ja noch die Frage im Raum, ob sich ein Polynom allein aus der Kenntnis seiner Ableitungen konstruieren lässt. Seien also alle n Ableitungen einer ganzrationalen Funktion n-ten Grades bekannt. Wir können nun ihre Koeffizienten mit berechnen. Die Funktion selbst ist dann

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Wir haben gezeigt, dass sich jedes Polynom damit vollständig aus seinen Ableitungen bei bestimmen lässt. Im Applet habe ich auf der linken Seite in einigen Zeilen eine Übersicht dargestellt: Oberhalb der ersten Linie finden Sie den Funktionsterm. Darunter finden Sie alle Ableitungen an der Stelle null bis zum höchsten mit dem Schieberegler ausgewählten Grad. Darunter wird das Polynom dann wieder rekonstruiert. Das kann auch nur teilweise geschehen. Verändern Sie dazu den Schieberegler. Sie werden sehen, dass mit wachsendem n die Graphen der Rekonstruktion immer besser mit dem Ausgangsgraphen übereinstimmen. Für liegt dann schließlich das Ausgangspolynom wieder vor. Den Gedanken des Annäherns werden wir bei den Taylor-Reihen wieder gebrauchen. Folgendes ist noch anzumerken: Für erhalten wir die Tangente an den Graphen. Man spricht dann von der ersten Näherung der Funktion. Nun kann man sich Fälle vorstellen, in denen anstelle an der Stelle die Ableitungen an einer anderen, von null verschiedenen Stelle gegeben sind. Kann man hier auch das Polynom aus diesen Daten konstruieren? Stillschweigend haben wir bisher die Stelle null betrachtet, da hier in den Ableitungen alle Summanden außer dem letzten verschwunden sind. Wir könnten nun eben die beliebige Stelle in die Ableitungen einsetzen. Dann ergäbe sich ein Gleichungssystem, das bereits in Dreiecksform vorläge. Man könnte also die Koeffizienten ebenso bestimmen. Allerdings lässt sich ein noch wesentlich einfacheres Verfahren finden, indem man das noch unbekannte Polynom bildet. Dieses soll mit dem gesuchten vollständig übereinstimmen, außer dass dessen Graph soweit verschoben ist, dass die zu untersuchende Stelle wieder null ist. Wir erreichen das, indem wir fordern. Um das nachzuvollziehen, schalten Sie im Applet die Felder "Untersuchungsstelle verschiebbar" und "Verschobener Graph" ein. Ziehen Sie dann den Punkt in der Grafik zum Beispiel an den Ort . Sie werden sehen, dass der blau dargestellte Graph um 1 gegenüber dem roten Ausgangsgraphen verschoben ist. Er hat an der Stelle null genau die gleichen Eigenschaften, wie der Ausgangsgraph bei 1. Insbesondere stimmen auch alle Ableitungen überein. Jetzt können wir auf die bekannte Weise die Koeffizienten von bestimmen. Im Applet können Sie links sehen, dass zuerst wieder die Ableitungen berechnet werden und anschließend auch wieder daraus rekonstruiert wird. Schließlich brauchen wir nur noch mit die Ergebnisse durch "Rückverschieben" auf den gesuchten Graphen und dessen Funktion zu übertragen. Ein Ausmultiplizieren der Klammern und das Anschließende Zusammenfassen kann dann die Koeffizienten für ergeben, so man sie konkret benötigt. Allgemein können wir aber das Verfahren wie oben zusammenfassen und formulieren für den Fall, dass alle Ableitungen des Polynoms an der Stelle bekannt sind die Bestimmungsgleichung, wobei wir wieder anstelle des Bezeichner p das f verwenden, um den Charakter eines funktionalen Zusammenhangs zu verdeutlichen. Das Ergebnis ist

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