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Vom Winkelmaß zum Bogenmaß mit Sinus und Kosinus

Verschiebe das braune Kreuz auf der x-Achse mit der Maus.

Grundwissen 1: Umrechnung Bogenmaß-Winkelmaß Starte mit der folgenden Verhältnisgleichung - sie beschreibt die Gleichheit der Winkelanteile am Vollkreis: . Diese Gleichung kannst du leicht nach auflösen: . Mit dieser Formel kannst du einen Winkel vom Bogenmaß schnell in das Gradmaß umrechnen. Ist der Winkel nur im Gradmaß bekannt, folgt für den Winkel im Bogenmaß: . Tipp: In vielen Fällen erledigst du die Umrechnung elegant und ganz ohne Formel mithilfe von Anteilen am Vollkreis oder Anteilen am Halbkreis. So ist zum Beispiel ein 45°-Winkel genau ein Viertel vom Halbkreis. Damit entspricht dem Winkel der Bogenmaß-Winkel (im Bogenmaß besitzt ein Halbkreis exakt den Wert ). Grundwissen 2: Die Definitionserweiterung für den Sinus und den Kosinus am Einheitskreis für beliebige Winkel - auch negative Für die Definitionserweiterung benötigen wir drei Dinge:
  1. Ein Achsenkreuz (mit x- und y-Achse).
  2. Einen Einheitskreis (mit Radius 1), dessen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt.
  3. Einen Punkt auf dem Einheitskreis.
Damit können wir den Sinus und den Kosinus für beliebige Winkel im Winkelmaß und für beliebige Zahlen im Bogenmaß neu definieren:

x-Wert von P y-Wert von P

Für Winkel zwischen 0° und 90° (bzw. zwischen 0 und ) findest du zu jedem Winkel ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenusenlänge 1, sodass die alten Definitionen am Dreieck mit in die neue Definition eingebettet sind. Grundwissen 3: Zeichnen des Schaubildes der Sinus- und der Kosinusfunktion Schau dir die unten verlinkte Animation an und führe die einzelnen Schritte auf kariertem Papier selbstständig durch. Achte auf die geschickte Beschriftung der x-Achse: Wähle für eine Kästchenbreite den Wert bzw. für drei Kästchenbreiten den Wert . Dann benötigst du für eine Periode genau 12 Kästchen. So zeichnest du das Schaubild der Sinusfunktion einfach, schnell und sauber. Eine Herausforderung für Mathe-Cracks: Was passiert mit dem Schaubild der auf die obige Weise definierten Sinusfunktion, wenn man den Einheitskreis
  1. aus dem Ursprung zu einem neuen Mittelpunkt M(a,b) verschiebt
  2. und zusätzlich seinen Radius von 1 auf einen anderen positiven Wert verändert.
  3. Wie müsste man eine Streckung des Schaubildes der Sinusfunktion mithilfe der y-Koordinate eines Kreispunktes im Koordinatensystem beschreiben?