Hyperbolische Gärtner

Thema:
Ellipse

Hyperbolische Ellipsen in hyperbolischen Gärten

Auch in hyperbolischen Ebenen kann man elliptische Blumenbeete mit der Gärtnerkonstruktion anlegen: Man schlage 2 Pflöcke f und f* in die Erde, nehme ein hinreichend langes Seil von fester hyperbolischer Länge . Befestigt man die Enden des Seils an den Pflöcken, so kann man mit einem geeigneten hyperbolischen Stift den Umriss eines ovalen Blumenbeetes zeichnen nach der Gärtnerkonstruktion:

Wie geht das denn?

Das Oval hat eigentlich 4 Brennpunkte und besteht aus 2 Teilen. Zur hyperbolischen Ebene gehören hier aber nur die PUNKTE im Inneren des Einheitskreises. Hyperbolische GERADEN sind die im Inneren verlaufenden Kreisbögen von zum Einheitskreis orthogonalen Kreisen. Die weißen Kreise sind also hier die TANGENTEN des Ovals. Spiegelt man den Pflock f an diesen TANGENTEN, so liegen die Spiegelbilder s auf einem hyperbolischen KREIS mit Mittelpunkt f* und hyperbolischem RADIUS . Dies ist der hyperbolische LEITKREIS des Ovals! Die Summe der hyperbolischen ABSTÄNDE eines Punktes auf dem Oval zu den Brennpunkten ist ebenfalls . Die TANGENTEN sind nämlich die Winkelhalbierenden der BRENNSTRAHLEN. Nebenbei bemerkt: In der GAUSSschen Zahlenebene ist die Kurve eine bizirkulare Quartik; durch Vergrößerung des Ausschnitts kann man die Quartik in Gänze betrachten. Wie mißt der hyperbolische Gärtner (zumindest im Poincaréschen Kreisscheibenmodell)? Das erfährt man bei Wikipedia. Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks Kegelschnitt-Werkzeuge

Der euklidische Gärtner in der GAUSSschen Zahlenebene