Scheitelform und Hauptform

2. Kapitel: Lernziele

Eure Lernziele werden sein: In diesem Kapitel lernst du die Darstellungsformen Scheitel- und Haupform einer quadratischen Funktion kennen. Wenn du dieses Kapitel durchgearbeitet hast, kannst du jederzeit eine Umwandlung von Scheitel- in Hauptform (und andersrum) vornehmen. Außerdem wirst du die beiden Darstellungsformen miteinander vergleichen und erkennen, wann es sinnvoll ist, welche Form anzuwenden. Nutze in diesem Kapitel ebenfalls das dazugehörige Arbeitsblatt, um die Aufgaben zu lösen. Einstiegsaufgabe: Ballwurf Nr. 1 Die Flugbahn eines Ballwurfs kann man mit dem Funktionsterm f beschreiben. Der Ball verlässt die Hand in einer Höhe von 1,4 m. Das Koordinatensystem wird so festgelegt, dass dieser Punkt auf der y-Achse liegt.

An welcher Stelle erreicht der Ball den höchsten Punkt? Überlege dir einen passenden Funktionsterm zu der Flugbahn des Ballwurfs. Stelle bei dieser Aufgabe lediglich Vermutungen auf. Wenn du das Kapitel durchgearbeitet hast, wirst du bei der Lernerfolgskontrolle deine Vermutungen überprüfen.

Infotext: Scheitelform

Für die Parabel, welche die Wasserfontäne beschreibt, hatten wir den Funktionsterm bestimmt. Aus diesem konnte der Scheitelpunkt S(2/2) direkt abgelesen werden. Aus diesem Grund nennt man diese Darstellungsform Scheitelform. Der x-Wert des Scheitels hat bei den quadratischen Funktionen eine besondere Bedeutung. Dort befindet sich der größte bzw. kleinste Funktionswert. Allgemein spricht man von dem Funktionsterm der Scheitelform: f(x) = mit dem Scheitelpunkt (d/)

Aufgabe 1

Arbeitsanweisung: Ordne die Schaubilder dem jeweiligen Funktionsterm zu und gib für folgende Funktionen den Scheitel an. Begründe deine Entscheidung.

Lösung:

Aufgabe 2

Welche Funktionen sind identisch zu... 1. 2.

Wähle die passenden Funktionen aus!

Kreuze deine Antwort hier an

Begründe deine Antwort und kotrolliere sie, indem du dir die Lösung anzeigen lässt.

Infotext: Umwandlung von Hauptform in Scheitelform

Um von der Hauptform zur Scheitelform zu gelangen, wird die Methode der quadratischen Ergänzung angewendet. An einem Beispiel lernt ihr dieses Verfahren kennen. Das Verfahren wird mithilfe der Funktion erklärt. 1. Als erstes wird der Streckfaktor a ausgeklammert. Am Beispiel: Der Streckfaktor a ist die Zahl vor dem d.h. hier die 3. Diese Zahl wird ausgeklammert und das bedeutet, dass alle Zahlen in der Klammer durch 3 geteilt werden. 2. Der Koeffizienten b, d.h. die Zahl vor dem einfachen x, wird durch zwei geteilt. Anschließend wird dieser Teil quadriert d.h.: und in die Klammer hinter dem bx dazuaddiert und gleichzeitig wieder abgezogen. Es ist erlaubt, eine Zahl oder Variable dazu addieren, wenn man dieses Glied gleichzeitig wieder abzieht. Denn so wird der Term nicht verändert, da Null ergibt. Warum wird dieser Aufwand betrieben? Damit hier eine Binomische Formel ergänzt werden kann. Am Beispiel: Das b = 3, d.h. wird quadriert und hinter dem Glied bx dazuaddiert und gleichzeitig wieder abgezogen. 3. Die ersten drei Glieder in der Klammer werden in eine Binomische Formel umgewandelt. In diesem Fall ist es die 2. Binomische Formel. Der Rest in der Klammer wird miteinander verrechnet (wird Korrektursummand genannt) und spielt keine Rolle für die Binomische Formel. Am Beispiel: 4. Als letztes wird der Streckfaktor a mit dem Korrektursummanden multipliziert. Die Binomische Formel behält vor der Klammer den Streckfaktor b. Am Beispiel: Und fertig ist die Scheitelform, aus der der Scheitelpunkt abgelesen werden kann: S(1,5/) Im Buch auf S. 46 ist eine andere Methode für die Umwandlung Hauptform in Scheitelform erklärt. Wer die quadratische Ergänzung nicht anwenden will, kann sich auch diese Methode aneignen.

Aufgabe 3

Aufgabe 3
Brückenbogen über Fluss

Arbeitsanweisung: Der Hauptbogen einer Brücke über einen Fluss hat folgenden Funktionsterm: Wie hoch liegt die höchste Stelle des Brückenbogens über der Wasseroberfläche? Vorgehensweise: Wandle die Hauptform in die Scheitelform um und lese daraus den Scheitelpunkt ab!

Aufgabe 4

Arbeitsanweisung: Die beiden angezeigten Parabeln haben ihren Scheitel in S und einen Punkt A bzw B. Bestimme den zugehörigen Funktionsterm in der Scheitel- und der Hauptform.

Falls du eine Hilfestellung benötigst, kannst du diese hier nutzen. Hilfestellung: Vorgehensweise: 1. Bestimme als erstes die Scheitelform. 2. Setze dazu den Scheitel in die Scheitelform ein.Jedoch wird für den Streckfaktor noch die Variable a benutzt. 3. Der Streckfaktor a kann mit Hilfe der Punktprobe und des angegebenen Punktes bestimmt werden. 4. Multipliziere alles aus und du erhälst die Hauptform.

Aufgabe 5

Arbeitsanweisung: Vergleiche Scheitelform und Hauptform! 1. Setze die Parameter auf a=0,5 und d=1 fest. Verändere nun den Parameter bei der Scheitelform. Welche Auswirkung hat dies auf die Darstellungsform Hauptform? 2. Setze nun die Parameter auf a=0,5 und = 0 fest und verändere den Parameter d. Was stellst du fest, wenn du die Scheitel- und Hauptform miteinander vergleichst? 3. Verändere als letztes den Parameter a und überprüfe, welche Veränderung sich bei Scheitel- und Normalform ergibt. Tipp: Überprüfe deine Erkenntnisse, indem du die Parameter mit anderen Zahlen festsetzt z.B. a=1 und d= 2 (für 1.) oder a= 1 und ys=1 (für 2.). 4. Erläutere den Zusammenhang zwischen dem Scheitelpunkt und der Scheitel- bzw. der Hauptform. Entwirf anschließend einen Merksatz zu deinen gemachten Entdeckungen und überlege dir, wann du welche Darstellungsform anwendest.
Nutze das GeoGebra Applet um die Aufgabe zu erledigen.

Lösungen

Übung

Löse folgende Aufgaben aus dem Buch: S. 47 Nr. 4-7. Hinweis: Die Lösungen findest du in deinem Buch auf S. 264.

Lernerfolgskontrolle: Einstiegsaufgabe Ballwurf Nr.1

Arbeitsanweisung: Überprüfe deine Vermutungen von der Einstiegsaufgabe, indem du die passende Funktion in der Hauptformdarstellung findest. Passe dazu die Schieberegler so an, dass du für die Flugbahn des Balles die passende Funktion findest. Folgende Fragen gilt es zu klären: 1. Wie lautet die passende Funktion zur Flugbahn des Ballwurfs in Haupt- und in Scheitelform? 2. Wann erreicht der Ball seinen höchsten Punkt? Wie hoch ist er an dieser Stelle? Erstelle eine Skizze und beantworte die Fragen. Runde ggf. auf zwei Nachkommastellen.

Ende Kapitel 2: Zusatzaufgaben

Falls du mit dem Kapitel fertig bist, kannst du folgende Zusatzaufgaben aus dem Schulbuch lösen. S. 47 Nr. 8 S. 48 Nr. 9 S. 48 Nr.10 Die Lösungen erhälst du von der Lehrerin. Oder falls du damit fertig bist, kannst du auch deinen Mitschülern helfen, die evtl. Schwierigkeiten mit dem Thema haben.