Contando segmentos

Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Aritmética y cálculo mental. El razonamiento inductivo, basado en ensayar unos pocos casos sencillos y después generalizar, es de gran ayuda para establecer rápidamente conjeturas que puedan conducirnos hacia la demostración de nuevos resultados. Sin embargo, debemos asegurarnos de que nuestras inducciones, basadas en la regularidad de alguna pauta numérica, se acompañen de algún argumento razonable que no se vea afectado por otras circunstancias, pues la simple observación puede llevar a engaño. Aquí mostraremos un ejemplo. Nos preguntamos cuántos segmentos de diferente longitud podemos encontrar que unan dos puntos cualesquiera del siguiente geoplano. Si te equivocas en algún momento, usa los botones de Deshacer y Rehacer.

1. Dibuja los segmentos de distinta longitud que puedas encontrar en el geoplano pequeño (2x2). ¿Cuántos son?

2. Mueve el deslizador a la posición 3x3. Añade los segmentos de distinta longitud que puedas encontrar en ese geoplano, además de los ya dibujados. ¿Cuántos son en total? Asegúrate de que todos son de distinto tamaño.

3. Mueve el deslizador a la posición 4x4. Añade los segmentos de distinta longitud que puedas encontrar en ese geoplano, además de los ya dibujados. ¿Cuántos son en total?

4. Mueve el deslizador a la posición 5x5. Añade los segmentos de distinta longitud que puedas encontrar en ese geoplano, además de los ya dibujados. ¿Cuántos son en total?

5. ¿Crees que esos números siguen alguna pauta? ¿Te atreves a predecir cuántos segmentos de diferente tamaño habrá en total en el geoplano 6x6? Escribe tu predicción.

6. Mueve el deslizador a la posición 6x6. Añade los segmentos de distinta longitud que puedas encontrar en ese geoplano, además de los ya dibujados.  ¿Cuántos son en total? ¿Concuerda con tu predicción? Si la respuesta es sí, es muy probable que hayas repetido algún segmento. En total no hay 20 segmentos, sino solo 19. Si no encuentras dónde está el error, activa la pista 1. Si sigues sin encontrarlo, activa la pista 2.

Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste. Esta actividad está presente en el Proyecto Gauss